القوى في مجموعة الأعداد النسبية ℚ
السنة الثامنة من التعليم الأساسي — الدرس و30 تمرينا متدرجة
I. تذكير
• الجداء: a × b ، وقاعدة الإشارات: نفس الإشارة ← موجب، إشارتان مختلفتان ← سالب.
• مقلوب العدد النسبي غير المعدوم a/b هو b/a ، ومقلوب a هو 1/a.
• قسمة عدد على عدد غير معدوم هي ضربه في مقلوبه.
II. القوة ذات الأس الطبيعي
1) التعريف
ليكن a عددا نسبيا و n عددا صحيحا طبيعيا أكبر من أو يساوي 2: an = a × a × … × a (n عاملا).
• a يسمى الأساس و n يسمى الأس، و an يقرأ « a أس n ».
• a1 = a ، و a0 = 1 (حيث a ≠ 0).
• a2 مربع a ، و a3 مكعب a.
أمثلة: 25 = 2×2×2×2×2 = 32 ؛ (−3)2 = (−3)×(−3) = 9 ؛ (2/3)3 = 8/27 ؛ 70 = 1.
2) إشارة القوة
إذا كان الأساس موجبا فالقوة موجبة. إذا كان الأساس سالبا: القوة موجبة عندما يكون الأس زوجيا، وسالبة عندما يكون الأس فرديا.
أمثلة: (−2)4 = 16 ؛ (−2)5 = −32 ؛ (−1)2026 = 1 ؛ (−1)2027 = −1.
انتبه: لا نخلط بين (−3)2 و −32 : (−3)2 = 9 بينما −32 = −(3×3) = −9.
3) قوة كسر
لكل عدد نسبي a/b (حيث b ≠ 0): (a/b)n = an/bn
مثال: (−3/4)3 = (−3)3/43 = −27/64
حالات خاصة: 0n = 0 (حيث n ≥ 1) ؛ 1n = 1 ؛ (−1)n = 1 إذا كان n زوجيا و −1 إذا كان n فرديا.
III. القوة ذات الأس الصحيح السالب
لكل عدد نسبي a ≠ 0 و كل عدد صحيح طبيعي n: a−n = 1/an
• في الخصوص a−1 = 1/a : أي أن a−1 هو مقلوب a.
• (a/b)−n = (b/a)n (نقلب الأساس ونغير إشارة الأس).
أمثلة: 2−3 = 1/23 = 1/8 ؛ (−3)−2 = 1/9 ؛ (2/3)−2 = (3/2)2 = 9/4 ؛ 10−4 = 1/10000.
ملاحظة: القوة ذات الأس السالب لا تعني أن النتيجة سالبة: 2−3 = 1/8 > 0.
IV. خاصيات القوى
ليكن a و b عددين نسبيين غير معدومين و m و n عددين صحيحين نسبيين:
|
الخاصية |
الصيغة |
|
جداء قوتين لهما نفس الأساس |
am × an = am+n |
|
خارج قوتين لهما نفس الأساس |
am ÷ an = am−n |
|
قوة قوة |
(am)n = am×n |
|
قوة جداء |
(a × b)n = an × bn |
|
قوة خارج |
(a/b)n = an/bn |
أمثلة:
• 34 × 32 = 36 ؛ 57 ÷ 53 = 54 ؛ (23)2 = 26.
• 23 × 53 = (2×5)3 = 103 = 1000.
• 73 × 7−5 = 7−2 = 1/49.
تحذير: لا توجد خاصية تبسط am + an ، وكذلك (a + b)n ≠ an + bn ؛ مثال: (2+3)2 = 25 بينما 22+32 = 13.
V. قوى العدد 10 والكتابة العلمية
1) قوى العدد 10
• 10n هو العدد 1 متبوعا بـ n أصفار: 103 = 1000 ، 106 = 1000000.
• 10−n هو عدد عشري يكتب بـ n رقما بعد الفاصل، آخرها 1: 10−2 = 0,01 ، 10−5 = 0,00001.
• 100 = 1.
الضرب في 10n (حيث n > 0) ينقل الفاصل n مراتب نحو اليمين، والضرب في 10−n ينقله n مراتب نحو اليسار.
2) الكتابة العلمية
الكتابة العلمية لعدد عشري غير معدوم هي كتابته على الشكل a × 10n حيث a عدد عشري يحقق 1 ≤ |a| < 10 و n عدد صحيح نسبي.
أمثلة: 4500 = 4,5 × 103 ؛ 0,0032 = 3,2 × 10−3 ؛ 62000000 = 6,2 × 107.
VI. أولوية العمليات
• الحسابات داخل الأقواس.
• القوى.
• الضرب والقسمة (من اليسار إلى اليمين).
• الجمع والطرح.
مثال: 23 − 3 × (−2)2 + 5 = 8 − 12 + 5 = 1
VII. التمارين
المستوى 1: تطبيق مباشر (التمارين 1 – 8)
التمرين 1:
اكتب كل جداء على شكل قوة:
أ) 2×2×2×2 ب) (−3)×(−3)×(−3) ج) (1/2)×(1/2)×(1/2) د) (−1/3)×(−1/3)×(−1/3)×(−1/3)×(−1/3)
التمرين 2:
احسب:
أ) 25 ب) (−2)3 ج) (−3)4 د) (−1)15 هـ) 07 و) 70
التمرين 3:
حدد إشارة كل عدد دون حسابه:
أ) (−5)6 ب) (−2)7 ج) −(−3)4 د) (−1/2)5 هـ) (−4)10 و) −(−2)3
التمرين 4:
احسب:
أ) (2/3)2 ب) (−3/4)3 ج) (−1/2)4 د) (−2/5)2
التمرين 5:
احسب (انتبه لموضع الأقواس):
أ) −24 ب) (−2)4 ج) −(−2)3 د) −(−1)10
التمرين 6:
اكتب كل قوة على شكل كسر ثم احسبها:
أ) 2−3 ب) (−3)−2 ج) (1/2)−1 د) 10−4 هـ) (−2)−3
التمرين 7:
أ) احسب: 103 ؛ 10−2 ؛ 100 ؛ 10−5.
ب) اكتب على شكل قوة للعدد 10 كلا من: 1000000 و 0,001.
التمرين 8:
أكمل بالعدد المناسب:
أ) 2… = 64 ب) (−3)… = −27 ج) (…)3 = 125 د) (…)3 = −8/27 هـ) 5… = 1/25
المستوى 2: تطبيق الخاصيات (التمارين 9 – 16)
التمرين 9:
اكتب على شكل قوة واحدة:
أ) 34 × 32 ب) 57 ÷ 53 ج) (23)2
د) (−2)5 × (−2)3 هـ) 73 × 7−5
التمرين 10:
اكتب على شكل قوة واحدة:
أ) (1/2)3 × (1/2)4 ب) (−3/4)5 ÷ (−3/4)2 ج) ((2/3)2)3 د) (52)−1
التمرين 11:
احسب باستعمال خاصيات القوى:
أ) 23 × 53 ب) (−2)4 × (3/2)4 ج) 45 × (1/4)5 د) 253 ÷ 53
التمرين 12:
احسب:
أ) 23 × 2−5 ب) 3−4 × 36 ج) 5−2 ÷ 5−4 د) (2−1)3
التمرين 13:
بسّط (حيث x ≠ 0):
أ) x5 × x2 ب) x9 ÷ x4 ج) (x3)4 د) x−2 × x5
التمرين 14:
احسب:
أ) (2/3)−2 ب) (−3/2)−3 ج) (−1/4)−2 د) (1/5)−3
التمرين 15:
احسب:
أ) 32 + 23 ب) 24 − 32 ج) (−2)3 + (−3)2 د) 52 − (−2)4 هـ) (−1)2026 + (−1)2027
التمرين 16:
اكتب النتيجة على شكل قوة للعدد 10 ثم كتابة عشرية:
أ) 105 × 10−2 ب) 10−3 ÷ 102 ج) (10−2)3 د) 107 × 10−7
المستوى 3: عمليات مركبة والكتابة العلمية (التمارين 17 – 24)
التمرين 17:
بسّط ثم احسب:
A = (23 × 2−5) ÷ 2−2
B = (34 × 3−2) ÷ 33
C = (52)3 ÷ 54
D = (−2)3 × (−2)−1
التمرين 18:
احسب وأعط النتيجة في أبسط صورة:
A = (−1/2)3 + (1/2)2
B = (2/3)2 × (3/2)3
C = (−2/3)3 ÷ (4/9)
D = (1/2)−3 − (1/3)−2
التمرين 19:
احسب مراعيا أولوية العمليات:
A = (−3)2 × 23 − (−2)2 × 32
B = 23 − 3 × (−2)2 + 5
C = (32 − 23)2
D = −22 + (−2)2 − 20
التمرين 20:
اكتب كلا من الأعداد التالية في الكتابة العلمية:
أ) 4500 ب) 0,0032 ج) 62000000 د) 0,000085
التمرين 21:
اكتب بالكتابة العشرية:
أ) 3,14 × 102 ب) 7 × 10−3 ج) 2,5 × 10−1 د) 1,2 × 105
التمرين 22:
احسب وأعط النتيجة في الكتابة العلمية:
أ) (2 × 103) × (4 × 105)
ب) (6 × 10−2) × (5 × 104)
ج) (9 × 106) ÷ (3 × 102)
د) (8 × 10−3) ÷ (4 × 10−5)
التمرين 23:
قارن بين العددين في كل حالة:
أ) 210 و 103 ب) (−2)5 و (−2)4
ج) (1/2)3 و (1/2)5 د) 3−2 و 2−3
التمرين 24:
بسّط ثم احسب (إرشاد: حلّل الأعداد إلى جداء عوامل أولية):
A = (23 × 32) ÷ (22 × 33)
B = (42 × 2−3) ÷ 8−1
C = 63 ÷ (23 × 32)
D = (152 × 3−2) ÷ 52
المستوى 4: مسائل وتعمّق (التمارين 25 – 30)
التمرين 25:
أ) بيّن أنه لكل عدد صحيح طبيعي n : (−1)2n = 1 و (−1)2n+1 = −1.
(إرشاد: (−1)2n = ((−1)2)n)
ب) استنتج قيمة A = (−1)2026 + (−1)2027 + (−1)2028.
التمرين 26:
أ) بيّن أنه لكل عدد صحيح طبيعي n : 2n+2 − 2n = 3 × 2n.
ب) استنتج قيمة 210 − 28 دون استعمال الآلة الحاسبة.
التمرين 27:
احسب:
A = (2−1 + 3−1)−1
B = 2−2 + 2−3 + 2−4
التمرين 28:
يتضاعف عدد البكتيريا في مزرعة كل ساعة. العدد الأولي 5000 ، فيكون العدد بعد n ساعة هو N = 5000 × 2n.
أ) كم يصبح العدد بعد 3 ساعات؟
ب) كم يصبح العدد بعد 10 ساعات؟
ج) إذا كان العدد الآن 80000 ، فكم كان قبل ساعتين؟ (إرشاد: خذ n = −2)
التمرين 29:
سرعة الضوء 3 × 108 م/ثا، والمسافة بين الشمس والأرض 1,5 × 1011 م.
أ) احسب الزمن t الذي يستغرقه ضوء الشمس ليصل الأرض بالثانية (t = d ÷ v) في الكتابة العلمية.
ب) حوّل النتيجة إلى دقائق وثوان.
التمرين 30:
ليكن A = (2/3)−2 × (−3/2)3 ÷ (9/4)2.
أ) احسب A في أبسط صورة.
ب) احسب A2 و A−1.
ج) تحقق من النتيجة بكتابة كل الأعداد على شكل قوى للعدد 3/2.
VIII. الإجابات المختصرة
|
التمرين |
الإجابة |
|
1 |
24 ؛ (−3)3 ؛ (1/2)3 ؛ (−1/3)5 |
|
2 |
32 ؛ −8 ؛ 81 ؛ −1 ؛ 0 ؛ 1 |
|
3 |
موجب ؛ سالب ؛ سالب ؛ سالب ؛ موجب ؛ موجب |
|
4 |
4/9 ؛ −27/64 ؛ 1/16 ؛ 4/25 |
|
5 |
−16 ؛ 16 ؛ 8 ؛ −1 |
|
6 |
1/8 ؛ 1/9 ؛ 2 ؛ 1/10000 ؛ −1/8 |
|
7 |
أ) 1000 ؛ 0,01 ؛ 1 ؛ 0,00001 ب) 106 و 10−3 |
|
8 |
6 ؛ 3 ؛ 5 ؛ −2/3 ؛ −2 |
|
9 |
36 ؛ 54 ؛ 26 ؛ (−2)8 ؛ 7−2 |
|
10 |
(1/2)7 ؛ (−3/4)3 ؛ (2/3)6 ؛ 5−2 |
|
11 |
1000 ؛ 81 ؛ 1 ؛ 125 |
|
12 |
1/4 ؛ 9 ؛ 25 ؛ 1/8 |
|
13 |
x7 ؛ x5 ؛ x12 ؛ x3 |
|
14 |
9/4 ؛ −8/27 ؛ 16 ؛ 125 |
|
15 |
17 ؛ 7 ؛ 1 ؛ 9 ؛ 0 |
|
16 |
103 = 1000 ؛ 10−5 = 0,00001 ؛ 10−6 = 0,000001 ؛ 100 = 1 |
|
17 |
A = 1 ؛ B = 1/3 ؛ C = 25 ؛ D = 4 |
|
18 |
A = 1/8 ؛ B = 3/2 ؛ C = −2/3 ؛ D = −1 |
|
19 |
A = 36 ؛ B = 1 ؛ C = 1 ؛ D = −1 |
|
20 |
4,5 × 103 ؛ 3,2 × 10−3 ؛ 6,2 × 107 ؛ 8,5 × 10−5 |
|
21 |
314 ؛ 0,007 ؛ 0,25 ؛ 120000 |
|
22 |
8 × 108 ؛ 3 × 103 ؛ 3 × 104 ؛ 2 × 102 |
|
23 |
210 > 103 ؛ (−2)5 < (−2)4 ؛ (1/2)3 > (1/2)5 ؛ 3−2 < 2−3 |
|
24 |
A = 2/3 ؛ B = 16 ؛ C = 3 ؛ D = 1 |
|
25 |
ب) A = 1 − 1 + 1 = 1 |
|
26 |
ب) 210 − 28 = 3 × 28 = 768 |
|
27 |
A = 6/5 ؛ B = 7/16 |
|
28 |
أ) 40000 ؛ ب) 5120000 ؛ ج) 20000 |
|
29 |
أ) t = 5 × 102 ثا ؛ ب) 8 دقائق و 20 ثانية |
|
30 |
أ) A = −3/2 ؛ ب) A2 = 9/4 و A−1 = −2/3 ؛ ج) A = −(3/2)2+3−4 = −3/2 |
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق