درس التناسب وطبيعة الجداول

المستوى: الثامنة من التعليم الأساسي

1. جدول التناسب ومعامل التناسب

يكون جدول مكون من سطرين جدول تناسب إذا كانت جميع أعداد السطر الثاني تتحصل عليها بضرب أعداد السطر الأول الموافق لها في نفس العدد غير المنعدم $a$. هذا العدد $a$ يسمى معامل التناسب.

إذا كان الجدول التالي جدول تناسب:

السطر الأول	$x$	$y$
السطر الثاني	$z$	$t$

فإن معامل التناسب هو: $\frac{z}{x} = \frac{t}{y} = a$ (حيث $x \neq 0$ و $y \neq 0$)

مثال توضيحي: نعتبر ثمن التفاح حسب الوزن:

الوزن بـ (الكلغ)	2	5	7
الثمن بـ (الدينار)	6	15	21

نلاحظ أن: $\frac{6}{2} = \frac{15}{5} = \frac{21}{7} = 3$. إذن هذا الجدول هو جدول تناسب ومعامل التناسب هو 3.

2. التمثيل البياني لوضعية تناسبية

في مخطط بياني، تتميز الوضعية التناسلية بأن جميع النقاط تكون على استقامة واحدة مع أصل الترتيب (النقطة O).

رسم بياني لوضعية تناسبية (خط مستقيم يمر من أصل المخطط)

3. الرابع المتناسب

إذا كانت لدينا ثلاثة أعداد معروفة في جدول تناسب يتكون من أربعة خانات، فإن العدد الرابع المجهول يسمى الرابع المتناسب ويمكن حسابه باستعمال الجداء المتصالب.

طريقة الحساب: إذا كان أ ، ب ، ج ، س في جدول تناسب كالتالي:

أ	ج
ب	س

فإن: س = (ب × ج) ÷ أ

سلسلة التمارين المتدرجة (32 تمرينًا)

المستوى الأول: تطبيقات مباشرة وبسيطة (التأكد من الفهم الأساسي)

تمرين 1

هل الجدول التالي يمثل جدول تناسب؟ علل إجابتك: (السطر 1: [3, 5, 8] / السطر 2: [9, 15, 24]).

تمرين 2

ابحث عن معامل التناسب للجدول التالي: (السطر 1: [4, 7, 10] / السطر 2: [10, 17.5, 25]).

تمرين 3

أكمل الجدول التالي علماً أنه يمثل جدول تناسب: (السطر 1: [2, 6, x] / السطر 2: [7, y, 35]).

تمرين 4

اشترى أحمد 3 كراس بمبلغ 4500 مليم. احسب ثمن 7 كراسات من نفس النوع.

تمرين 5

تقطع سيارة مسافة 150 كم في ساعتين ببساطة. كم تقطع في 5 ساعات بنفس السرعة؟

تمرين 6

إذا كان ثمن 5 لترات من الزيت هو 45 ديناراً، فما هو ثمن لتر واحد؟ وما ثمن 12 لتراً؟

تمرين 7

جدول يحتوي على (السطر 1: [1.5, 3] / السطر 2: [4.5, 9]). أضف عمودين جديدين متناسبين معهما.

تمرين 8

احسب الرابع المتناسب x في الحالة التالية: 4 / 12 = 5 / x.

تمرين 9

يفرغ صنبور 20 لتراً من الماء في 4 دقائق. كم يحتاج من الوقت لإفراغ 70 لتراً؟

تمرين 10

ثمن 400 غرام من الحلوى هو 3200 مليم. احسب ثمن كيلوغرام واحد من هذه الحلوى.

المستوى الثاني: تمارين متوسطة (تتطلب تفكيرًا وخطوتين للحل)

المعادلات من الدرجة الاولى لتلاميذ الثامنة اساسي درس مع تمارين تطبيقية

⚖️ المعادلات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحد

ميزان تفاعلي، حلّ خطوة بخطوة، رسوم بيانية، ومسائل — a x + b = c x + d

🎯 أهداف الدرس

• أن أفهم معنى المعادلة وحلّها وأن أتحقق من صحة حلّ.
• أن أحلّ معادلات من الأنواع : x + b = c ، a x = c ، a x + b = c ، a x + b = c x + d.
• أن أحلّ معادلات فيها أقواس وكسور.
• أن أحلّ معادلة بيانيا بقراءة نقطة تقاطع مستقيمين.
• أن أحلّ مسائل بوضعها في معادلة.

1

ما هي المعادلة ؟

• المعادلة مساواة فيها عدد مجهول نرمز له بحرف مثل x. مثال : x + 3 = 7.
• ما على يمين علامة = و يسارها يسمّى طرفي المعادلة.
• حلّ المعادلة هو العدد الذي إذا عوّضنا به x أصبحت المساواة صحيحة.
• مثال : x = 4 هو حلّ للمعادلة x + 3 = 7 لأن 4 + 3 = 7 ✔.
• نسمّي هذه المعادلة من الدرجة الأولى لأن المجهول x لا يظهر إلا بقوّة 1 (لا يوجد x²).

الميزان يشرح المعادلة ⚖️

نتخيّل المعادلة ميزانا متوازنا : كفة اليمين وكفة اليسار لهما نفس الوزن. الصندوق x وزنه مجهول، والمكعبات الصغيرة وزن كل منها 1.

في الرسم : x + 3 = 7. إذا أخذنا 3 مكعبات من كل كفة يبقى الميزان متوازنا : x = 4.

💡 التحقق : نعوّض x بالحلّ في كل طرف ونحسب. إذا وجدنا نفس العدد فالحلّ صحيح.

2

قواعد حلّ المعادلات

القاعدة 1 : إذا أضفنا (أو طرحنا) العدد نفسه إلى طرفي معادلة، نحصل على معادلة مكافئة (لها نفس الحلّ).

القاعدة 2 : إذا ضربنا (أو قسمنا) طرفي معادلة في العدد نفسه غير المعدوم، نحصل على معادلة مكافئة.

المعادلة	العملية على الطرفين	المعادلة المكافئة
x + 5 = 12	نطرح 5	x = 7
x − 4 = 9	نضيف 4	x = 13
3x = 12	نقسم على 3	x = 4
x ÷ 2 = 8	نضرب في 2	x = 16

⚡ اختصار (نقل حدّ) : عندما ننقل حدّا من طرف إلى الطرف الآخر تتغيّر إشارته : x + 5 = 12 ⟸ x = 12 − 5.

3

أمثلة محلولة (من السهل إلى الأصعب)

مثال 1 : x + 5 = 12

نطرح 5 من الطرفين : x = 12 − 5 = 7

التحقق : 7 + 5 = 12 ✔

مثال 2 : 3x = 12

نقسم الطرفين على 3 : x = 12 ÷ 3 = 4

التحقق : 3 × 4 = 12 ✔

مثال 3 : 2x + 3 = 11

نطرح 3 من الطرفين : 2x = 8

نقسم الطرفين على 2 : x = 4

التحقق : 2 × 4 + 3 = 11 ✔

مثال 4 : 3x + 2 = x + 10 (المجهول في الطرفين)

نطرح x من الطرفين : 2x + 2 = 10

نطرح 2 من الطرفين : 2x = 8

نقسم على 2 : x = 4

التحقق : 3 × 4 + 2 = 14 و 4 + 10 = 14 ✔

مثال 5 : معادلة فيها أقواس 2(x + 3) = 14

ننشر (خاصية التوزيع) : 2x + 6 = 14

نطرح 6 : 2x = 8 ⟸ x = 4

التحقق : 2 × (4 + 3) = 14 ✔

مثال 6 : معادلة فيها كسر x ÷ 2 + 3 = 7

نطرح 3 : x ÷ 2 = 4

نضرب الطرفين في 2 : x = 8

التحقق : 8 ÷ 2 + 3 = 7 ✔

حالتان خاصتان

لا حلّ : x + 1 = x + 2 ⟸ نطرح x فنجد 1 = 2 وهذا مستحيل : المعادلة ليس لها حلّ.
عدد لا نهائي من الحلول : 2x + 2 = 2(x + 1) ⟸ ننشر فنجد 2x + 2 = 2x + 2 : المساواة صحيحة مهما كان x.

طريقة الحلّ في 4 خطوات :

1. أنشر وأبسّط كل طرف (أقواس، كسور).
2. أجمع حدود x في طرف والأعداد في الطرف الآخر.
3. أقسم الطرفين على معامل x.
4. أتحقق بالتعويض.

4

🔬 المختبر : الميزان والحلّ بالخطوات

اكتب معاملات المعادلة a x + b = c x + d أو اختر مثالا جاهزا، ثم تنقّل بين الخطوات وشاهد الميزان والرسم البياني :

x + = x +

📈 الرسم البياني للمعادلة

المستقيم الأزرق y = a x + b (الطرف الأول) والمستقيم البرتقالي y = c x + d (الطرف الثاني). فاصلة نقطة التقاطع هي حلّ المعادلة.

5

الحلّ البياني لمعادلة

الطريقة : لحلّ المعادلة a x + b = c x + d بيانيا :

1. نرسم المستقيم y = a x + b .
2. نرسم المستقيم y = c x + d .
3. نقرأ فاصلة نقطة التقاطع : إنها حلّ المعادلة.

مثال : المعادلة 2x + 1 = x + 5 :

المستقيمان يتقاطعان في النقطة (4 , 9) إذن x = 4 ✔ (تحقق : 2 × 4 + 1 = 9 و 4 + 5 = 9).

💡 إذا كان المستقيمان متوازيين فلا نقطة تقاطع : المعادلة بلا حلّ. وإذا انطبقا فعدد الحلول لا نهائي.

6

حلّ مسائل بالمعادلات 🧩

خطوات حلّ مسألة : ① أختار المجهول x ② أكتب المعادلة ③ أحلّها ④ أتحقق ⑤ أجيب بجملة.

مثال 1 : المستطيل

مستطيل طوله يزيد عن عرضه بـ 3 cm ومحيطه 26 cm. ما أبعاده ؟

نختار : العرض x ⟸ الطول x + 3.

المحيط : 2 × (x + x + 3) = 26 ⟸ 4x + 6 = 26 ⟸ 4x = 20 ⟸ x = 5.

الجواب : العرض 5 cm والطول 8 cm. (تحقق : 2 × 13 = 26 ✔)

مثال 2 : الأعمار

عمر الأب 36 سنة وعمر ابنه 8 سنوات. بعد كم سنة يصبح عمر الأب ثلاثة أمثال عمر ابنه ؟

بعد x سنة : 36 + x = 3 × (8 + x) ⟸ 36 + x = 24 + 3x ⟸ 12 = 2x ⟸ x = 6.

الجواب : بعد 6 سنوات (الأب 42 والابن 14 : 3 × 14 = 42 ✔).

مثال 3 : النادي الرياضي (مقارنة بالرسم)

النادي A : اشتراك 15 دينارا + 5 دنانير لكل حصة. النادي B : 8 دنانير لكل حصة بلا اشتراك. بعد كم حصة يتساوى المبلغان ؟

15 + 5x = 8x ⟸ 15 = 3x ⟸ x = 5.

الجواب : بعد 5 حصص يدفع الجميع 40 دينارا. بعد ذلك يصبح النادي A أرخص (انظر الرسم).

!

أخطاء شائعة ⚠️

1. أنفّذ العملية على طرف واحد فقط ✗ : يجب أن أنفّذها على الطرفين.
2. أنسى تغيير الإشارة عند نقل حدّ : x + 5 = 12 ⟸ x = 12 − 5 وليس 12 + 5.
3. أنسى توزيع الضرب على كل حدود القوس : 2(x + 3) = 2x + 6 وليس 2x + 3.
4. أقسم على المعامل خطأ : 3x = 12 ⟸ x = 12 ÷ 3 وليس 12 × 3.
5. لا أتحقق من الحلّ بالتعويض.

تمارين

📝 التمارين (0 سؤال)

اكتب قيمة x (يمكنك كتابة عدد كسري مثل 7/2 أو عشري مثل 3,5) ثم اضغط « تحقق ».

النتيجة الكلية : 0 / 0

تحدّ

🏆 التحدّي النهائي

10 معادلات عشوائية. اختر الحلّ الصحيح!

🧠 ما يجب أن أتذكره

• المعادلة ميزان متوازن : ما أفعله بكفة أفعله بالكفة الأخرى.
• أضيف أو أطرح العدد نفسه من الطرفين، أو أضرب أو أقسم في عدد غير معدوم.
• عند نقل حدّ تتغيّر إشارته.
• خطوات الحلّ : أنشر ← أجمع ← أقسم ← أتحقق.
• الحلّ البياني : فاصلة نقطة تقاطع المستقيمين y = a x + b و y = c x + d.
• قد لا يوجد حلّ (1 = 2) أو يوجد عدد لا نهائي من الحلول (0 = 0).

رباعيات الاضلاع درس ثامنة أساسي مع تطبيقات وتمارين مصلحة ومتدرجة في الصعوبة

رباعيات الأضلاع

متوازي الأضلاع – المستطيل – المعين – المربع | السنة الثامنة من التعليم الأساسي | الدرس و٣٠ تمرينا متدرجة

I. تذكير

• الرباعي له أربعة رؤوس وأربعة أضلاع وقطران، ومجموع زواياه 360°.
• نسمي الرباعي بترتيب رؤوسه المتتالية: ABCD ؛ الضلعان [AB] و [CD] متقابلان، والقطران هما [AC] و [BD].
• شبه المنحرف رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان.
• إذا كان مستقيمان متوازيين وقطعهما مستقيم ثالث فإن الزاويتين المتبادلتين داخليا متقايستان.
• نظيرة نقطة A بالنسبة إلى نقطة O هي النقطة A' بحيث يكون O منتصف [AA'].
• حالات تقايس مثلثين: ض ض ض ، ض ز ض ، ز ض ز.

II. متوازي الأضلاع

1) التعريف

متوازي الأضلاع رباعي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان: (AB) ∥ (DC) و (AD) ∥ (BC).

2) الخاصيات

في متوازي الأضلاع ABCD مركزه O:

• كل ضلعين متقابلين متقايسان: AB = DC و AD = BC.
• كل زاويتين متقابلتين متقايستان: ∠A = ∠C و ∠B = ∠D ؛ وكل زاويتين متتاليتين متكاملتان: ∠A + ∠B = 180°.
• القطران يتقاطعان في منتصفهما: OA = OC و OB = OD ، ولذلك فإن O مركز تناظر للشكل.

3) كيف نبرهن أن رباعيا هو متوازي أضلاع؟

يكون رباعي متوازي أضلاع إذا تحقق أحد الشروط التالية:

• ضلعاه المتقابلان متوازيان مثنى مثنى (التعريف).
• ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان.
• كل ضلعين متقابلين متقايسان.
• قطراه يتقاطعان في منتصفهما.
• كل زاويتين متقابلتين متقايستان.

انتبه: لا يكفي أن يكون ضلعان متقابلان متوازيين فقط (شبه منحرف)، ولا أن يكون ضلعان متقابلان متقايسين فقط.

III. المستطيل

التعريف: المستطيل رباعي زواياه الأربع قائمة.

الخاصيات: المستطيل متوازي أضلاع، فله كل خاصيات متوازي الأضلاع. وله أيضا: قطراه متقايسان: AC = BD ، ومنه OA = OB = OC = OD.

كيف نبرهن أن رباعيا مستطيل؟ يكون رباعي مستطيلا إذا كان:

• له ثلاث زوايا قائمة.
• متوازي أضلاع له زاوية قائمة.
• متوازي أضلاع قطراه متقايسان.

IV. المعين

التعريف: المعين رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة.

الخاصيات: المعين متوازي أضلاع، فله كل خاصيات متوازي الأضلاع. وله أيضا: قطراه متعامدان: (AC) ⊥ (BD) ، وكل قطر منهما منصف للزاويتين اللتين يمر برأسيهما.

كيف نبرهن أن رباعيا معين؟ يكون رباعي معينا إذا كان:

• أضلاعه الأربعة متقايسة.
• متوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان.
• متوازي أضلاع قطراه متعامدان.

V. المربع

التعريف: المربع رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة وزواياه الأربع قائمة، أي أنه مستطيل ومعين في آن واحد.

الخاصيات: للمربع كل خاصيات المستطيل وكل خاصيات المعين: قطراه متقايسان ومتعامدان ويتقاطعان في منتصفهما، وكل قطر يصنع مع كل ضلع مجاور له زاوية 45°.

كيف نبرهن أن رباعيا مربع؟ يكون رباعي مربعا إذا كان:

• مستطيلا له ضلعان متتاليان متقايسان.
• معينا له زاوية قائمة.
• متوازي أضلاع قطراه متقايسان ومتعامدان.

VI. جدول ملخص

الرباعي	الأضلاع المتقابلة متوازية	الأضلاع الأربعة متقايسة	الزوايا الأربع قائمة	القطران متقايسان	القطران متعامدان
متوازي الأضلاع	دائما	ليس دائما	ليس دائما	ليس دائما	ليس دائما
المستطيل	دائما	ليس دائما	دائما	دائما	ليس دائما
المعين	دائما	دائما	ليس دائما	ليس دائما	دائما
المربع	دائما	دائما	دائما	دائما	دائما

تذكر: كل مربع هو مستطيل ومعين، وكل مستطيل أو معين هو متوازي أضلاع. أي: المربع ⊂ المستطيل ⊂ متوازي الأضلاع ، والمربع ⊂ المعين ⊂ متوازي الأضلاع.

VII. كيف نبرهن؟

• نحدد ما نريد إثباته (نوع الرباعي) ونسترجع الشروط الكافية لذلك.
• نبحث في المعطيات عن أحد هذه الشروط ونبرر كل معلومة نستعملها.
• نذكر الخاصية المستعملة ثم نستنتج.

مثال 1

المعطيات: ABC مثلث و M منتصف [BC] و D نظيرة A بالنسبة إلى M. المطلوب: بيّن أن ABDC متوازي أضلاع.

الحل: الرباعي ABDC قطراه [AD] و [BC] يتقاطعان في M. لدينا M منتصف [BC] (فرضية)، و M منتصف [AD] لأن D نظيرة A بالنسبة إلى M. إذن قطرا ABDC يتقاطعان في منتصفهما، فهو متوازي أضلاع.

مثال 2

المعطيات: ABCD متوازي أضلاع و AB = BC. المطلوب: بيّن أن ABCD معين.

الحل: ABCD متوازي أضلاع، إذن AB = CD و BC = AD. وبما أن AB = BC فإن AB = BC = CD = DA. أضلاعه الأربعة متقايسة، فهو معين.

VIII. التمارين

المستوى 1: تطبيق مباشر (التمارين 1 – 8)

التمرين 1:

ABCD متوازي أضلاع حيث AB = 5 cm و BC = 3 cm و ∠A = 70°. أعط CD ، AD ، ∠C ، ∠B ، ∠D ثم محيط ABCD.

التمرين 2:

ABCD متوازي أضلاع مركزه O حيث OA = 3 cm و OB = 2,5 cm. أعط OC ، OD ، AC ، BD.

التمرين 3:

أجب بـ «صحيح» أو «خطأ»:

أ) كل مربع هو مستطيل.

ب) كل مستطيل هو معين.

ج) كل معين هو متوازي أضلاع.

د) قطرا المعين متقايسان دائما.

هـ) قطرا المستطيل متعامدان دائما.

و) كل متوازي أضلاع له زاوية قائمة.

التمرين 4:

سمّ الرباعي في كل حالة (متوازي أضلاع / مستطيل / معين / مربع) مع التعليل:

أ) رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة.

ب) رباعي زواياه الأربع قائمة.

ج) رباعي زواياه الأربع قائمة وأضلاعه الأربعة متقايسة.

د) رباعي قطراه يتقاطعان في منتصفهما.

هـ) رباعي قطراه متقايسان ويتقاطعان في منتصفهما.

التمرين 5:

ABCD مستطيل مركزه O و AC = 10 cm. أعط BD ثم OA و OB و OC و OD. ما نوع المثلث OAB؟

التمرين 6:

ABCD معين مركزه O ومحيطه 24 cm.

أ) احسب طول ضلعه.

ب) إذا كان AC = 8 cm و BD = 6 cm فاحسب OA و OB وأعط قيس ∠AOB.

التمرين 7:

EFGH مربع طول ضلعه 4 cm ومركزه O. أعط محيطه، ثم قارن EG و FH، ثم أعط قيس ∠EOF و ∠FEG.

التمرين 8:

ABCD متوازي أضلاع حيث ∠A = 2x + 10° و ∠C = x + 50°.

أ) احسب x.

ب) احسب زوايا ABCD الأربع، ثم سمّ نوع هذا الرباعي.

المستوى 2: تعرف الرباعيات وبراهين قصيرة (التمارين 9 – 16)

التمرين 9:

في كل حالة، هل الرباعي ABCD متوازي أضلاع؟ علّل أو اكتب «لا يمكن الاستنتاج»:

أ) AB = CD و BC = AD.

ب) [AC] و [BD] يتقاطعان في O حيث OA = OC و OB = OD.

ج) (AB) ∥ (CD) و AD = BC.

د) (AB) ∥ (CD) و AB = CD.

التمرين 10:

ABCD متوازي أضلاع. I منتصف [AB] و J منتصف [CD].

أ) بيّن أن AI = CJ وأن (AI) ∥ (CJ).

ب) استنتج أن AICJ متوازي أضلاع.

التمرين 11:

ABCD متوازي أضلاع مركزه O. E و F نقطتان من [AC] بحيث AE = CF.

أ) بيّن أن OE = OF.

ب) استنتج أن BEDF متوازي أضلاع.

التمرين 12:

ABCD متوازي أضلاع قطراه [AC] و [BD] متقايسان.

أ) بيّن أن المثلثين ABC و BAD متقايسان.

ب) استنتج أن ∠ABC = ∠BAD ثم أن ∠ABC = 90°.

ج) ما نوع الرباعي ABCD؟

التمرين 13:

ABCD متوازي أضلاع مركزه O و AB = BC.

أ) بيّن أن ABCD معين.

ب) بيّن أن المثلثين OAB و OCB متقايسان.

ج) استنتج أن (AC) ⊥ (BD).

التمرين 14:

ABCD مستطيل مركزه O حيث AC = 10 cm و ∠AOB = 60°.

أ) بيّن أن OA = OB ثم حدد نوع المثلث OAB.

ب) احسب AB و ∠OAB.

ج) احسب ∠DAC.

التمرين 15:

ABCD مربع مركزه O.

أ) ما نوع المثلث OAB؟ علّل.

ب) احسب ∠OAB.

ج) استنتج قيس الزاوية بين القطر [AC] والضلع [AB].

التمرين 16:

ABCD متوازي أضلاع حيث AB = 2x + 3 و CD = x + 8 و BC = 3y − 2 و AD = y + 6.

أ) أوجد x و y.

ب) احسب AB و BC ثم محيط ABCD.

المستوى 3: براهين متوسطة (التمارين 17 – 24)

التمرين 17:

ABCD متوازي أضلاع مركزه O. H و K المسقطان العموديان لـ B و D على المستقيم (AC).

أ) بيّن أن (BH) ∥ (DK).

ب) بيّن أن المثلثين OBH و ODK متقايسان، ثم استنتج أن BH = DK.

ج) استنتج أن BHDK متوازي أضلاع.

التمرين 18:

ABCD متوازي أضلاع. E نظيرة D بالنسبة إلى C.

أ) بيّن أن CE = AB وأن (CE) ∥ (AB).

ب) استنتج أن ABEC متوازي أضلاع.

التمرين 19:

ABCD مستطيل و M منتصف [AB].

أ) بيّن أن المثلثين MAD و MBC متقايسان.

ب) استنتج أن MD = MC ثم حدد نوع المثلث MCD.

التمرين 20:

ABCD معين مركزه O.

أ) بيّن أن المثلثات OAB و OBC و OCD و ODA قائمة الزاوية في O.

ب) بيّن أنها متقايسة.

التمرين 21:

ABCD معين حيث ∠DAB = 60°.

أ) بيّن أن المثلث ABD متقايس الأضلاع.

ب) احسب ∠ABC.

ج) إذا كان محيط ABCD يساوي 24 cm فاحسب BD.

التمرين 22:

ABCD متوازي أضلاع مركزه O. مستقيم يمر بـ O يقطع [AB] في M و [CD] في N.

أ) بيّن أن المثلثين OAM و OCN متقايسان.

ب) استنتج أن O منتصف [MN].

التمرين 23:

ABCD متوازي أضلاع. منصف الزاوية ∠DAB يقطع [BC] في E.

أ) بيّن أن ∠DAE = ∠AEB (إرشاد: الزاويتان المتبادلتان داخليا).

ب) استنتج أن ∠EAB = ∠AEB ثم أن BE = BA.

التمرين 24:

ABCD معين و M نقطة من القطر [AC].

أ) بيّن أن المثلثين ABM و ADM متقايسان.

ب) استنتج أن MB = MD.

المستوى 4: مسائل وتعمّق (التمارين 25 – 30)

التمرين 25:

ABCD متوازي أضلاع مركزه O. E نقطة من [AB] و F نقطة من [CD] بحيث AE = CF.

أ) بيّن أن AECF متوازي أضلاع.

ب) بيّن أن EBFD متوازي أضلاع.

ج) بيّن أن النقط E و O و F على استقامة واحدة.

التمرين 26:

ABCD مستطيل حيث AB = 2 BC و M منتصف [AB].

أ) بيّن أن AM = AD وأن المثلث AMD قائم الزاوية ومتساوي الساقين.

ب) احسب ∠AMD وكذلك ∠BMC.

ج) استنتج أن ∠DMC = 90°.

التمرين 27:

ABCD مربع. E و F و G و H نقط من [AB] و [BC] و [CD] و [DA] على التوالي بحيث AE = BF = CG = DH.

أ) بيّن أن BE = CF = DG = AH.

ب) بيّن أن المثلثات AEH و BFE و CGF و DHG متقايسة، ثم استنتج أن EFGH معين.

ج) بيّن أن ∠HEF = 90° ثم استنتج أن EFGH مربع.

التمرين 28:

رباعي مفصلي ABCD مصنوع من أربعة قضبان: AB = CD = 60 cm و AD = BC = 40 cm ، ويمكن تغيير زواياه.

أ) بيّن أن ABCD يبقى متوازي أضلاع مهما كانت زواياه.

ب) احسب محيطه.

ج) أعطينا الزاوية ∠A القيمة 60°. احسب الزوايا الأخرى.

د) ما الرباعي الذي نحصل عليه عندما تصبح ∠A = 90°؟ وماذا نلاحظ على قطريه؟

التمرين 29:

أنشئ معينا ABCD حيث AB = 5 cm و AC = 8 cm (إرشاد: أنشئ المثلث ABC حيث BA = BC = 5 cm ثم نظيرة B بالنسبة إلى منتصف [AC]).

أ) علّل أن الرباعي المنشأ معين.

ب) قس BD.

التمرين 30:

ABCD متوازي أضلاع مركزه O. E و F و G و H منتصفات [OA] و [OB] و [OC] و [OD] على التوالي.

أ) بيّن أن EFGH متوازي أضلاع.

ب) إذا كان ABCD مستطيلا فبيّن أن EFGH مستطيل.

ج) إذا كان ABCD معينا فبيّن أن EFGH معين.

IX. الإجابات المختصرة — اضغط للإظهار

التمرين	الإجابة
1	CD = 5 cm ؛ AD = 3 cm ؛ ∠C = 70° ؛ ∠B = ∠D = 110° ؛ المحيط 16 cm
2	OC = 3 cm ؛ OD = 2,5 cm ؛ AC = 6 cm ؛ BD = 5 cm
3	أ) صحيح ؛ ب) خطأ ؛ ج) صحيح ؛ د) خطأ ؛ هـ) خطأ ؛ و) خطأ
4	أ) معين ؛ ب) مستطيل ؛ ج) مربع ؛ د) متوازي أضلاع ؛ هـ) مستطيل
5	BD = 10 cm ؛ OA = OB = OC = OD = 5 cm ؛ OAB متساوي الساقين رأسه O
6	أ) 6 cm ؛ ب) OA = 4 cm و OB = 3 cm و ∠AOB = 90°
7	المحيط 16 cm ؛ EG = FH ؛ ∠EOF = 90° ؛ ∠FEG = 45°
8	أ) x = 40 ؛ ب) الزوايا الأربع 90° ← مستطيل
9	أ) نعم (كل ضلعين متقابلين متقايسان) ؛ ب) نعم (القطران يتقاطعان في منتصفهما) ؛ ج) لا يمكن الاستنتاج (قد يكون شبه منحرف) ؛ د) نعم (ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان)
10	أ) AI = AB/2 = CD/2 = CJ و (AB) ∥ (CD) ؛ ب) ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان
11	أ) OE = OA − AE = OC − CF = OF ؛ ب) OB = OD و OE = OF ← قطراه يتقاطعان في منتصفهما
12	أ) AB مشترك ، BC = AD ، AC = BD ← ض ض ض ؛ ب) ∠ABC + ∠BAD = 180° ومتقايستان ← 90° ؛ ج) مستطيل
13	أ) أضلاعه الأربعة متقايسة ؛ ب) OA = OC ، BA = BC ، OB مشترك ← ض ض ض ؛ ج) ∠AOB = ∠COB ومجموعهما 180° ← 90°
14	أ) OA = OB (قطرا المستطيل) و ∠AOB = 60° ← OAB متقايس الأضلاع ؛ ب) AB = OA = 5 cm و ∠OAB = 60° ؛ ج) ∠DAC = 90° − 60° = 30°
15	أ) OAB قائم الزاوية ومتساوي الساقين رأسه O ؛ ب) ∠OAB = 45° ؛ ج) 45°
16	أ) x = 5 و y = 4 ؛ ب) AB = 13 و BC = 10 والمحيط 46
17	أ) (BH) ⊥ (AC) و (DK) ⊥ (AC) ؛ ب) وتر وزاوية حادة (OB = OD ، ∠BOH = ∠DOK) ؛ ج) (BH) ∥ (DK) و BH = DK
18	أ) CE = DC = AB و (CE) ∥ (DC) ∥ (AB) ؛ ب) ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان
19	أ) MA = MB ، AD = BC ، ∠A = ∠B = 90° ← ض ز ض ؛ ب) MD = MC ← MCD متساوي الساقين رأسه M
20	أ) قطرا المعين متعامدان ؛ ب) AB = BC = CD = DA و OA = OC و OB = OD ← ض ض ض
21	أ) AB = AD و ∠A = 60° ← ABD متقايس الأضلاع ؛ ب) ∠ABC = 180° − 60° = 120° ؛ ج) AB = 6 cm ← BD = AB = 6 cm
22	أ) OA = OC ، ∠AOM = ∠CON (متقابلتان بالرأس) ، ∠OAM = ∠OCN (متبادلتان داخليا) ← ز ض ز ؛ ب) OM = ON
23	أ) ∠DAE = ∠AEB (متبادلتان داخليا) ؛ ب) ∠EAB = ∠DAE (منصف) ← ∠EAB = ∠AEB ← BE = BA
24	أ) AB = AD ، ∠BAM = ∠DAM ، AM مشترك ← ض ز ض ؛ ب) MB = MD
25	أ) AE = CF و (AE) ∥ (CF) ؛ ب) EB = AB − AE = CD − CF = DF و (EB) ∥ (DF) ؛ ج) قطرا AECF يتقاطعان في منتصفهما O ← O منتصف [EF]
26	أ) AD = AB/2 = AM ؛ ب) ∠AMD = 45° و ∠BMC = 45° ؛ ج) ∠DMC = 180° − 45° − 45° = 90°
27	أ) BE = AB − AE و CF = BC − BF و AB = BC و AE = BF ← BE = CF ، وكذلك DG = AH ؛ ب) ض ز ض ← EH = FE = GF = HG ؛ ج) ∠BEF = ∠AHE ← ∠HEF = 180° − (∠AEH + ∠AHE) = 90° ← مربع
28	أ) كل ضلعين متقابلين متقايسان ؛ ب) 200 cm ؛ ج) ∠C = 60° و ∠B = ∠D = 120° ؛ د) مستطيل وقطراه متقايسان
29	أ) قطراه يتقاطعان في منتصفهما ← متوازي أضلاع ، و BA = BC ← معين ؛ ب) BD = 6 cm
30	أ) OE = OA/2 = OC/2 = OG و OF = OH ← قطرا EFGH يتقاطعان في منتصفهما ؛ ب) AC = BD ← EG = FH (مستطيل) ؛ ج) (AC) ⊥ (BD) ← (EG) ⊥ (FH) (معين)