الرياضيات — السنة السابعة أساسي درس وتقييم: مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية (ℤ)

الرياضيات — السنة السابعة أساسي
درس وتقييم: مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية (ℤ)

____________________________________________________

 

1. ملخص الدرس الأساسي

 

 

1. تعريف مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية (ℤ): تتكون مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية من الأعداد الموجبة، الأعداد السلبية، والعدد صفر. ℤ = { ... , -3 , -2 , -1 , 0 , +1 , +2 , +3 , ... } • الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (ℤ⁺): هي الأعداد الأكبر من 0 وتكتب بعلامة (+) أو بدونها (مثال: +5 = 5). • الأعداد الصحيحة النسبية السلبية (ℤ⁻): هي الأعداد الأصغر من 0 وتكتب دائماً بعلامة (-) (مثال: -4). • العدد صفر (0): هو عدد صحيح نسبي موجب وسلبي في نفس الوقت.

 

2. العددان المتقابلان: هما عددان لهما نفس البعد عن الصفر ومختلفان في العلامة. مثال: العدد المتقابل لـ (+7) هو (-7)، والعدد المتقابل لـ (-12) هو (+12). 3. القيمة المطلقة لعدد صحيح نسبي: هي البعد بين نقطة تمثل هذا العدد والنقطة ذات الجذاذ 0 على مستقيم مدرج. وتكون دائماً موجبة أو معدومة، ونرمز لها بـ |a|. أمثلة: |+6| = 6  |  |-6| = 6  |  |0| = 0

 

4. قواعد مقارنة الأعداد الصحيحة النسبية: • أي عدد موجب أكبر تماماً من أي عدد سلبي (مثال: +2 > -50). • بين عددين موجبين: الأكبر هو صاحب القيمة المطلقة الأكبر (مثال: +8 > +3). • بين عددين سلبين: الأكبر هو صاحب القيمة المطلقة الأصغر (الأقرب إلى الصفر) (مثال: -2 > -9).

 

 

2. تمارين تطبيقية

 

التمرين الأول: الإنتماء والمقارنة

1) ضع الرمز المناسب ( ∈ أو ∉ ) مكان النقط:

العبارة الأولى	العبارة الثانية	العبارة الثالثة
-8 ... ℤ⁺	+15 ... ℤ	0 ... ℤ⁻
|-5| ... ℤ⁺	-3.5 ... ℤ	+7.2 ... ℤ⁻

 

2) قارن بين كل عددين باستخدام الرمز المناسب ( > أو < ):

المقارنة 1	المقارنة 2	المقارنة 3
-12 ... -7	+5 ... -20	|-9| ... |+4|
0 ... -15	-100 ... +1	-18 ... -25

 

التمرين الثاني: الأعداد المتقابلة والقيمة المطلقة

1) أحسب القيم التالية وبيّن هل ينتمي الناتج إلى ℤ أم لا:

الحالة 1	الحالة 2	الحالة 3
|-14| = ...	|+3.5| = ...	|-0| = ...

 

2) أوجد العدد الصحيح النسبي x في كل حالة من الحالات التالية:

المعادلة 1	المعادلة 2	المعادلة 3
|x| = 5	القابل لـ x هو -11	|x| = -3

 

 

3. الإصلاح والتصحيح المفصل

 

إصلاح التمرين الأول:

العبارة والإجابة	التعليل والشرح
-8 ∉ ℤ⁺	لأن -8 عدد صحيح نسبي سلبي وليس موجباً.
+15 ∈ ℤ	لأن +15 عدد صحيح نسبي.
0 ∈ ℤ⁻	لأن العدد صفر هو موجب وسلبي في نفس الوقت.
|-5| ∈ ℤ⁺	لأن |-5| = 5 وهو عدد صحيح نسبي موجب.
-3.5 ∉ ℤ	لأن -3.5 عدد عشري وليس عدداً صحيحاً.
-12 < -7	لأن -7 أقرب إلى الصفر من -12 على المستقيم المدرج.
+5 > -20	لأن أي عدد موجب أكبر من أي عدد سلبي.
|-9| > |+4|	لأن |-9| = 9 و |+4| = 4 و 9 أكبر من 4.

 

إصلاح التمرين الثاني:

المسألة والنتيجة	التوضيح العلمي
|-14| = 14	14 ∈ ℤ (عدد صحيح نسبي موجب)
|+3.5| = 3.5	3.5 ∉ ℤ (ليس عدداً صحيحاً نسبيّاً)
|x| = 5	x = 5 أو x = -5 (كلاهما يبعد 5 وحدات عن الصفر)
المقابل لـ x هو -11	x = +11 (لأن مقابله ينعكس في العلامة)
|x| = -3	مستحيل! القيمة المطلقة دائماً موجبة أو صفرية ولا تكون سلبية أبداً.

 

تنبيه هام للفرائض والامتحانات: تذكر دائماً أن القيمة المطلقة تحول أي عدد داخلها إلى عدد موجب (أو صفر)، بينما مقابل العدد يتغير علامته من موجب إلى سلبي أو العكس.