الرياضيات — السنة الثامنةأساسي العمليات في مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية (ℤ) الجمع — الطرح — الضرب

 

الرياضيات — السنة الثامنة أساسي
العمليات في مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية (ℤ)
الجمع — الطرح — الضرب

____________________________________________________

1. ملخص وقواعد الدرس المفصلة

 

أولاً: جمع الأعداد الصحيحة النسبية 1. جمع عددين لهما نفس العلامة: نحتفظ بنفس العلامة المشتركة، ونجمع قيمتيهما المطلقتين.  • أمثلة: (+5) + (+3) = +8   |   (-7) + (-4) = -11 2. جمع عددين مختلفي العلامة: نأخذ علامة العدد صاحب القيمة المطلقة الأكبر، ونطرح القيمة المطلقة الأصغر من الأكبر.  • أمثلة: (-9) + (+4) = -5   |   (+12) + (-5) = +7 3. خاصيات عملية الجمع:  • مجموع عددين متقابلين يساوي دائماً صفر: a + (-a) = 0   (مثال: (+6) + (-6) = 0).  • العنصر المحايد هو 0: a + 0 = a.  • عملية الجمع تبديلية وتجميعية في ℤ.

 

ثانياً: طرح الأعداد الصحيحة النسبية • قاعدة الطرح المفتاحية: طرح عدد صحيح نسبي يعني إضافة مقابله! الصيغة:  a - b = a + (-b)  • أمثلة:    - (+8) - (+3) = (+8) + (-3) = +5    - (-6) - (-10) = (-6) + (+10) = +4    - (+5) - (-7) = (+5) + (+7) = +12 • لحساب مجموع جَبْري (سلسلة عمليات جمع وطرح): نحول كل عمليات الطرح إلى جمع المتقابل، ثم نجمع الأعداد الموجبة معاً والأعداد السلبية معاً.

 

ثالثاً: ضرب الأعداد الصحيحة النسبية 1. قاعدة العلامات في الضرب:  • ضرب عددين لهما نفس العلامة يعطي عدداً موجباً (+):    (+) × (+) = (+)    |    (-) × (-) = (+)    مثال: (+4) × (+5) = +20   |   (-3) × (-6) = +18  • ضرب عددين مختلفي العلامة يعطي عدداً سلبياً (-):    (+) × (-) = (-)    |    (-) × (+) = (-)    مثال: (+7) × (-2) = -14   |   (-5) × (+3) = -15 2. جذاء عدة أعداد صحيحة نسبية:  • إذا كان عدد العوامل السلبية زَوْجِيّاً ← الجذاء يكون مُوجَباً (+).  • إذا كان عدد العوامل السلبية فَرْدِيّاً ← الجذاء يكون سَلْبِيّاً (-). 3. التوزيعية: الضرب توزيعي على الجمع والطرح: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

 

2. تمارين تطبيقية ووضعيات متدرجة (من السهل إلى الصعب)

 

التمرين الأول (مستوى بسيط — حساب مباشر للعمليات الأساسية):

أحسب العبارات التالية بدقة:

الجمع	الطرح	الضرب
A = (+8) + (-13)	B = (-9) + (-7)	C = (-15) + (+15)
D = (+12) - (+18)	E = (-6) - (-14)	F = (+7) - (-9)
G = (-5) × (+6)	H = (-4) × (-8)	K = (+9) × (-3)

 

التمرين الثاني (مستوى متوسط — المجاميع الجبرية وتفكيك/نشر العبارات):

1) أحسب المجموع الجبري التالي بأيسر طريقة:
   M = (+15) - (-8) + (-12) - (+15) + (-8)

2) احسب العبارتين بالنشر أو بالتفكيك إلى عوامل:
   N = (-5) × [ (+10) - (-4) ]
   P = (-7) × (+13) + (-7) × (-3)

الوضعية الأولى (وضعية مسألة حيوية — درجات الحرارة والارتفاعات):

نص الوضعية 1: في إحدى المدن الجبلية، كانت درجة الحرارة عند الفجر (-4°C). 1. عند الظهيرة، ارتفعت درجة الحرارة بـ 11 درجة. كم أصبحت درجة الحرارة عند الظهيرة؟ 2. عند منتصف الليل، انخفضت درجة الحرارة بمقدار 9 درجات مقارنة بالظهيرة. كم أصبحت درجة الحرارة عند منتصف الليل؟ 3. احسب الفارق الكلي في درجة الحرارة بين الظهيرة ومنتصف الليل.

 

الوضعية الثانية (وضعية معقدة / متقدمة — المعاملات الحسابية والرصيد البنكي):

نص الوضعية 2: كان الرصيد البنكي للتاجر أسامة في بداية الأسبوع مساوياً لـ (-450 دينار) (أي أنه مدين للبنك). خلال الأسبوع قام بالعمليات التالية:  • إيداع مبلغ 1200 دينار.  • سحب بمبلغ 350 دينار لمرتين متتاليتين.  • اقتطاع آلي لمبلغ 80 ديناراً كأداءات بنكية.  • دفع شيك بمبلغ 600 دينار. المطلوب: 1. اكتب عبارة عديدة الأطراف تتضمن أعداداً صحيحة نسبية تعبر عن رصيد أسامة الجديد. 2. أحسب هذا الرصيد وبيّن هل أصلح أسامة وضعيته البنكية (أصبح رصيده موجباً) أم لا يزال مديناً؟

 

3. الإصلاح والتصحيح الشامل مع التعليل الرياضي

 

إصلاح التمرين الأول (الحساب المباشر):

العملية والنتيجة	التعليل والقاعدة المستعملة
A = (+8) + (-13) = -5	نطرح القيمتين المطلقتين (13 - 8 = 5) ونأخذ علامة الأكبر (-)
B = (-9) + (-7) = -16	نجمع القيمتين المطلقتين (9 + 7 = 16) ونحتفظ بالعلامة السلبية (-)
C = (-15) + (+15) = 0	مجموع عددين متقابلين يساوي صفر
D = (+12) - (+18) = (+12) + (-18) = -6	تحويل الطرح إلى جمع المتقابل
E = (-6) - (-14) = (-6) + (+14) = +8	مقابل (-14) هو (+14)
F = (+7) - (-9) = (+7) + (+9) = +16	مقابل (-9) هو (+9)
G = (-5) × (+6) = -30	مختلفا العلامة ← جذاء سلبي (-)
H = (-4) × (-8) = +32	لهما نفس العلامة السلبية ← جذاء موجب (+)
K = (+9) × (-3) = -27	مختلفا العلامة ← جذاء سلبي (-)

 

إصلاح التمرين الثاني (المجاميع الجبرية والتفكيك):

العبارة	خطوات الحل والتفكيك بأيسر طريقة
M = (+15) - (-8) + (-12) - (+15) + (-8)	M = (+15) + (+8) + (-12) + (-15) + (-8) نلاحظ أعداداً متقابلة: (+15) + (-15) = 0  و  (+8) + (-8) = 0 يبقى: M = -12.
N = (-5) × [ (+10) - (-4) ]	N = (-5) × [ (+10) + (+4) ] = (-5) × (+14) = -70.
P = (-7) × (+13) + (-7) × (-3)	نستخرج العامل المشترك (-7): P = (-7) × [ (+13) + (-3) ] = (-7) × (+10) = -70.

 

إصلاح الوضعية الأولى (درجات الحرارة):

السؤال	العملية الرياضية والإجابة الإدماجية
1. درجة الحرارة عند الظهيرة	(-4) + (+11) = +7°C (أصبحت 7 درجات فوق الصفر).
2. درجة الحرارة عند منتصف الليل	(+7) - (+9) = (+7) + (-9) = -2°C (أصبحت درجتين تحت الصفر).
3. الفارق الكلي في درجة الحرارة	(+7) - (-2) = (+7) + (+2) = 9°C (الفارق هو 9 درجات).

 

إصلاح الوضعية الثانية (الرصيد البنكي للتاجر):

مراحل الحل	التطبيق العددي والتحليل
1. كتابة العبارة الرياضية للرصيد R	R = (-450) + (+1200) + 2 × (-350) + (-80) + (-600)
2. حساب العمليات والتبسيط	R = (-450) + (+1200) + (-700) + (-80) + (-600) نجمع الأعداد السلبية: (-450) + (-700) + (-80) + (-600) = -1830 R = (+1200) + (-1830) = -630 دينار.
3. تقييم الوضعية البنكية	بما أن الناتج R = -630 < 0، فإن التاجر أسامة لا يزال مديناً للبنك بمبلغ 630 ديناراً ولم يصلح وضعيته بعد.