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Exercice 1 3 points
Pour chaque question, trois options sont proposées. Une seule est correcte. Écrire le numéro de la question et la lettre correspondant à la bonne réponse.
1) L'ensemble des solutions de l'inéquation \(-2x+3<3+x\) est :
- a) \(]0,+\infty[\)
- b) \(]-\infty,0[\)
- c) \(]-\frac13,+\infty[\)
2) Le nombre \(7^{2028}-4\times 49^{1013}\) est divisible par :
- a) 15
- b) 10
- c) 6
3) Dans un repère orthonormé \((O,I,J)\), on considère les points \(A\left(\sqrt2,\frac{2-\sqrt2}{\sqrt2}\right)\) et \(B(-\sqrt2,1-\sqrt2)\). Les points A et B sont symétriques par rapport à :
- a) l'axe \((OI)\)
- b) l'axe \((OJ)\)
- c) l'origine O
Voir la correction de l'exercice 1
1) Réponse a) \(]0,+\infty[\)
\(-2x+3<3+x \iff -2x-x<3-3 \iff -3x<0 \iff x>0\).
2) Réponse a) 15
\(7^{2028}-4\times49^{1013}=7^{2028}-4\times(7^2)^{1013}=7^{2028}-4\times7^{2026}=7^{2026}(7^2-4)=7^{2026}\times45\).
Comme \(45=15\times3\), le nombre est divisible par 15. (Il est impair, donc ni par 10 ni par 6.)
3) Réponse c) l'origine O
\(y_A=\frac{2-\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}-1=\sqrt2-1\). Donc \(A(\sqrt2,\sqrt2-1)\) et \(B(-\sqrt2,1-\sqrt2)\).
Comme \(x_B=-x_A\) et \(y_B=-y_A\), O est le milieu de \([AB]\) : A et B sont symétriques par rapport à O.
Exercice 2 3,5 points
On considère les deux nombres réels : \(a=\dfrac{(\sqrt3-\sqrt7)^2+\sqrt{21}-7}{6}\) et \(b=\left|\dfrac32-\dfrac{\sqrt{21}}{3}\right|+2-\dfrac{\sqrt{21}}{6}\).
1) Montrer que \(\frac32<\frac{\sqrt{21}}3\), puis en déduire que \(b=\frac{3+\sqrt{21}}6\).
2) a) Montrer que \(a=\frac{3-\sqrt{21}}6\).
b) Montrer que \(3a^2-3a=1\), puis en déduire que \(3a\) est l'inverse de \((a-1)\).
3) Montrer que \(1-b=a\), puis en déduire que \(\frac{1-b}{a-1}=3a^2\).
Montrer enfin que : \(\sqrt{\frac13\left(\frac{1-b}{a-1}\right)-2a+1}=\frac{3+\sqrt{21}}6\).
Voir la correction de l'exercice 2
1) \(\left(\frac32\right)^2=\frac94=2{,}25\) et \(\left(\frac{\sqrt{21}}3\right)^2=\frac{21}9\approx2{,}33\). Les deux nombres étant positifs et \(2{,}25<\frac{21}{9}\), on a \(\frac32<\frac{\sqrt{21}}3\).
Donc \(\frac32-\frac{\sqrt{21}}3<0\) et \(\left|\frac32-\frac{\sqrt{21}}3\right|=-\frac32+\frac{\sqrt{21}}3\).
\(b=-\frac32+\frac{\sqrt{21}}3+2-\frac{\sqrt{21}}6=\frac12+\frac{2\sqrt{21}-\sqrt{21}}6=\frac12+\frac{\sqrt{21}}6=\frac{3+\sqrt{21}}6\).
2) a) \((\sqrt3-\sqrt7)^2=3-2\sqrt{21}+7=10-2\sqrt{21}\).
Numérateur : \(10-2\sqrt{21}+\sqrt{21}-7=3-\sqrt{21}\). Donc \(a=\frac{3-\sqrt{21}}6\).
b) De \(6a=3-\sqrt{21}\) on tire \(3-6a=\sqrt{21}\). En élevant au carré : \(9-36a+36a^2=21\), soit \(36a^2-36a=12\). En divisant par 12 : \(3a^2-3a=1\).
Alors \(3a(a-1)=1\) : le produit de \(3a\) et \((a-1)\) vaut 1, donc \(3a\) est l'inverse de \((a-1)\).
3) \(1-b=\frac{6-3-\sqrt{21}}6=\frac{3-\sqrt{21}}6=a\).
Donc \(\frac{1-b}{a-1}=\frac{a}{a-1}=a\times\frac1{a-1}=a\times3a=3a^2\).
\(\sqrt{\frac13(3a^2)-2a+1}=\sqrt{a^2-2a+1}=\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|\).
Comme \(\sqrt{21}>3\), on a \(a<0\), donc \(a-1<0\) et \(|a-1|=1-a=b=\frac{3+\sqrt{21}}6\). ✔
Exercice 3 4,5 points
On considère l'expression \(A=x^2-12x+16\).
1) Calculer A pour \(x=6+2\sqrt5\).
2) a) Montrer que \(A=(x-6)^2-20\).
b) En déduire que \(A=(x-6-2\sqrt5)(x-6+2\sqrt5)\).
c) Résoudre dans \(\mathbb R\) l'équation \(A=0\).
3) Démontrer que \(2<\sqrt5<3\), puis en déduire un encadrement de \(6-2\sqrt5\).
Voir la correction de l'exercice 3
2) a) \((x-6)^2-20=x^2-12x+36-20=x^2-12x+16=A\).
1) Pour \(x=6+2\sqrt5\) : \(x-6=2\sqrt5\), donc \(A=(2\sqrt5)^2-20=20-20=0\).
b) \(20=(2\sqrt5)^2\), donc \(A=(x-6)^2-(2\sqrt5)^2=(x-6-2\sqrt5)(x-6+2\sqrt5)\) (identité \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)).
c) \(A=0\iff x-6-2\sqrt5=0\) ou \(x-6+2\sqrt5=0\). \(S_{\mathbb R}=\{6-2\sqrt5\ ;\ 6+2\sqrt5\}\).
3) \(4<5<9\) et la fonction racine est croissante : \(2<\sqrt5<3\).
On multiplie par \(-2\) (le sens change) : \(-6<-2\sqrt5<-4\).
On ajoute 6 : \(0<6-2\sqrt5<2\).
Exercice 4 5 points
Soit ABC un triangle rectangle et isocèle en A tel que \(AB=6\) cm. Le point I est le milieu de \([AB]\) et O est le milieu de \([BC]\). Les droites \((IC)\) et \((AO)\) se coupent en G. Le cercle \((\zeta)\) de diamètre \([IB]\) recoupe \((BC)\) en un point K.
Figure de l'exercice 4 (reconstituée d'après l'énoncé)
1) a) Montrer que \(BC=6\sqrt2\).
b) Déterminer la position du point G dans le triangle ABC et montrer que \(CI=\frac32CG\).
2) a) Montrer que les droites \((IK)\) et \((AO)\) sont parallèles.
b) Montrer que \(\frac{CK}{CO}=\frac{CI}{CG}\), puis en déduire que \(CK=\frac{9\sqrt2}2\).
3) Les droites \((IK)\) et \((AC)\) se coupent en H. La droite \((IC)\) recoupe le cercle \((\zeta)\) en un point E.
a) Montrer que H est l'orthocentre du triangle IBC.
b) En déduire que les points H, E et B sont alignés.
Voir la correction de l'exercice 4
1) a) ABC est rectangle en A. Pythagore : \(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+6^2=72\), donc \(BC=\sqrt{72}=6\sqrt2\) cm.
b) \([AO]\) est la médiane issue de A et \([CI]\) la médiane issue de C. Elles se coupent en G : G est le centre de gravité du triangle ABC. Donc \(CG=\frac23CI\), c'est-à-dire \(CI=\frac32CG\).
2) a) Le triangle IKB est inscrit dans le cercle de diamètre \([IB]\) : il est rectangle en K, donc \((IK)\perp(BC)\).
ABC est isocèle en A et O est le milieu de \([BC]\) : la médiane \((AO)\) est aussi la hauteur, donc \((AO)\perp(BC)\).
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : \((IK)\parallel(AO)\).
b) Dans le triangle CIK : \(G\in[CI]\), \(O\in[CK]\) et \((GO)\parallel(IK)\) (car \(G\in(AO)\)). D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{CK}{CO}=\dfrac{CI}{CG}=\dfrac32\).
Or \(CO=\frac{BC}2=3\sqrt2\). Donc \(CK=\frac32\times3\sqrt2=\dfrac{9\sqrt2}2\) cm.
3) a) Dans le triangle IBC :
• \((IK)\perp(BC)\) et passe par I : c'est la hauteur issue de I ;
• \((AC)\perp(AB)\), donc \((AC)\perp(IB)\), et (AC) passe par C : c'est la hauteur issue de C.
H, intersection de ces deux hauteurs, est l'orthocentre de IBC.
b) H est l'orthocentre de IBC, donc \((BH)\) est la troisième hauteur : \((BH)\perp(IC)\).
E appartient au cercle de diamètre \([IB]\) : le triangle IEB est rectangle en E, donc \((BE)\perp(IC)\).
Les droites \((BH)\) et \((BE)\) passent par B et sont toutes deux perpendiculaires à \((IC)\) : elles sont confondues. Donc H, E et B sont alignés.
Exercice 5 4 points
On considère un parallélépipède rectangle ABCDEFGH tel que \(AB=4{,}8\) cm, \(BC=10\) cm et \(BF=6\) cm. Soit S un point de \([BC]\) tel que \(SC=3{,}6\) cm.
Figure de l'exercice 5 : SA = 8, SD = 6, SJHD (= SIHD) est un carré de côté 6 ; J est le sommet de la face supérieure à la verticale de S (il coïncide avec I).
1) a) Montrer que \(SD=6\) cm.
b) Calculer SA, puis en déduire que SAD est un triangle rectangle en S.
2) Soit I un point de \([FG]\) tel que SIGC soit un rectangle.
a) Montrer que la droite \((DH)\) est perpendiculaire à la droite \((DS)\).
b) Montrer que SJHD est un carré.
3) a) Montrer que la droite \((SI)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\).
b) En déduire que la droite \((AS)\) est perpendiculaire au plan \((SID)\).
4) Calculer le volume de la pyramide ASJHD.
Voir la correction de l'exercice 5
1) a) \(CD=AB=4{,}8\). Dans le triangle SCD rectangle en C : \(SD^2=SC^2+CD^2=3{,}6^2+4{,}8^2=12{,}96+23{,}04=36\), donc \(SD=6\) cm.
b) \(SB=BC-SC=10-3{,}6=6{,}4\) cm. Dans le triangle SBA rectangle en B : \(SA^2=SB^2+AB^2=6{,}4^2+4{,}8^2=40{,}96+23{,}04=64\), donc \(SA=8\) cm.
Dans le triangle SAD : \(SA^2+SD^2=64+36=100\) et \(AD^2=BC^2=100\). Comme \(SA^2+SD^2=AD^2\), d'après la réciproque du théorème de Pythagore, SAD est rectangle en S.
2) a) L'arête \((DH)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\) (la base). La droite \((DS)\) est contenue dans ce plan, donc \((DH)\perp(DS)\).
b) SIGC est un rectangle : \((SI)\parallel(CG)\) et \(SI=CG=6\). Donc I est le point de \([FG]\) situé à la verticale de S ; le sommet J de la face supérieure à la verticale de S est ce point (J = I).
\(SJ\parallel DH\) et \(SJ=DH=6\) : SJHD est un parallélogramme. Il a un angle droit en D (question a), c'est donc un rectangle. De plus \(SD=DH=6\) : deux côtés consécutifs égaux, SJHD est un carré de côté 6 cm.
3) a) \((SI)\parallel(CG)\) et \((CG)\perp(ABC)\) (arête du parallélépipède). Donc \((SI)\perp(ABC)\).
b) • \((AS)\perp(SD)\) (question 1b).
• \((SI)\perp(ABC)\) et \((AS)\subset(ABC)\), donc \((SI)\perp(AS)\).
La droite \((AS)\) est perpendiculaire à deux droites sécantes \((SD)\) et \((SI)\) du plan \((SID)\) : \((AS)\perp(SID)\).
4) La base de la pyramide est le carré SJHD : \(\mathcal B=6\times6=36\) cm². Sa hauteur est \(AS=8\) cm, puisque \((AS)\perp(SID)\).
\(\mathcal V=\frac13\times\mathcal B\times h=\frac13\times36\times8=\mathbf{96\ cm^3}\).
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