الضرب والقسمة في مجموعة الأعداد النسبية ℚ
السنة الثامنة أساسي
I. تذكير
العدد النسبي هو عدد يكتب على الشكل a/b حيث a عدد صحيح نسبي و b عدد صحيح نسبي غير معدوم.
مقابل العدد a/b هو −a/b، ومجموعهما يساوي 0.
مثال: 3/(−4) = (−3)/4 = −(3/4).
II. الضرب في ℚ
1) القاعدة
لكل عددين نسبيين a/b و c/d:
(a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d)
مثال: (2/3) × (5/7) = 10/21
2) قاعدة الإشارات
جداء عددين لهما نفس الإشارة هو عدد موجب.
جداء عددين مختلفين في الإشارة هو عدد سالب.
استنتاج: في جداء عدة عوامل غير معدومة:
إذا كان عدد العوامل السالبة زوجيا فالجداء موجب.
إذا كان عدد العوامل السالبة فرديا فالجداء سالب.
مثال: (−1/2) × (−3/4) × (−5/6) سالب لأن فيه ثلاثة عوامل سالبة.
3) التبسيط قبل الضرب
نبسط بين بسط أي عامل ومقام أي عامل آخر قبل الضرب.
مثال: (14/15) × (25/21) = (2/3) × (5/3) = 10/9
(قسمنا 14 و21 على 7، وقسمنا 25 و15 على 5)
4) خاصيات الضرب
| الخاصية | الصيغة |
|---|---|
| التبادلية | x × y = y × x |
| التجميعية | (x × y) × z = x × (y × z) |
| العنصر المحايد 1 | x × 1 = x |
| العنصر الماص 0 | x × 0 = 0 |
| التوزيعية على الجمع | x × (y + z) = x × y + x × z |
| التوزيعية على الطرح | x × (y − z) = x × y − x × z |
استنتاج: x × y = 0 يعني أن x = 0 أو y = 0.
وكذلك x × (−1) = −x.
III. مقلوب عدد نسبي
التعريف
مقلوب العدد النسبي غير المعدوم a/b هو العدد b/a، ويحقق:
(a/b) × (b/a) = 1
أمثلة:
مقلوب 5 هو 1/5
مقلوب −4/9 هو −9/4
مقلوب 0,3 = 3/10 هو 10/3
ملاحظات:
العدد 0 ليس له مقلوب.
مقلوب العدد وهذا العدد لهما نفس الإشارة.
مقلوب 1 هو 1، ومقلوب −1 هو −1.
لا نخلط بين المقابل (للجمع) والمقلوب (للضرب).
IV. القسمة في ℚ
1) القاعدة
قسمة عدد نسبي x على عدد نسبي y غير معدوم هي ضرب x في مقلوب y:
x ÷ y = x × (1/y)
أي: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) حيث c ≠ 0.
مثال: (3/4) ÷ (5/2) = (3/4) × (2/5) = 6/20 = 3/10
2) قاعدة الإشارات
هي نفس قاعدة الضرب:
نفس الإشارة: الخارج موجب.
إشارتان مختلفتان: الخارج سالب.
3) استنتاجات
القسمة على 0 مستحيلة.
0 ÷ y = 0 (حيث y ≠ 0).
x ÷ 1 = x و x ÷ (−1) = −x.
القسمة ليست تبادلية: x ÷ y ≠ y ÷ x بصفة عامة.
القسمة ليست تجميعية: (x ÷ y) ÷ z ≠ x ÷ (y ÷ z) بصفة عامة.
x ÷ y = z تعني x = y × z (حيث y ≠ 0)، وهذا ما نستعمله في حل المعادلات.
4) الكتابة الكسرية
(a/b) ÷ (c/d) يكتب أيضا (a/b) / (c/d)، وهو يساوي (a/b) × (d/c).
V. أولوية العمليات
الحسابات داخل الأقواس.
الضرب والقسمة (من اليسار إلى اليمين).
الجمع والطرح.
مثال: 1/2 + (3/4) × (−2/3) = 1/2 − 1/2 = 0
VI. التمارين التطبيقية
المستوى 1: تطبيق مباشر
التمرين 1: احسب وبسّط النتيجة:
أ) (2/3) × (5/7) ب) (−3/4) × (5/9) ج) (−2/5) × (−3/7) د) 0 × (−7/9)
التمرين 2: حدد إشارة كل جداء دون حسابه:
أ) (−2/3) × (5/7)
ب) (−1/2) × (−3/4) × (−5/6)
ج) (−1/2) × (−3/4) × (5/6) × (−7/8) × (−9/10)
التمرين 3: أعط مقلوب كل عدد إن أمكن:
5 ؛ −3 ؛ 2/7 ؛ −4/9 ؛ 0,3 ؛ −1 ؛ 0
التمرين 4: احسب:
أ) (3/4) ÷ (5/2) ب) (−6/7) ÷ (3/14) ج) (−5/8) ÷ (−10/3) د) 0 ÷ (−2/5)
التمرين 5: أكمل بالعدد المناسب:
أ) (…) × (−3/4) = 1
ب) (5/6) × (…) = −5/12
ج) (−2/3) ÷ (…) = 4/9
د) (…) ÷ (7/5) = −10/21
المستوى 2: التبسيط والأعداد المختلفة الكتابة
التمرين 6: بسّط ثم احسب:
أ) (14/15) × (25/21) ب) (−18/35) × (−14/27) ج) (−33/40) × (16/55)
التمرين 7: احسب (حوّل العدد العشري إلى كسر):
أ) (−1,5) × (2/3) ب) 0,4 ÷ (−2/5) ج) (−0,75) × (−8/9)
التمرين 8: احسب:
أ) 6 × (−5/9) ب) (−12) ÷ (4/5) ج) (7/3) ÷ (−14) د) (−3/8) ÷ (−9)
التمرين 9: احسب بتجميع العوامل بذكاء:
A = (−2/3) × (7/5) × (−3/2) × (5/7)
B = (4/9) × (−15/8) × (3/5)
التمرين 10: احسب باستعمال خاصية التوزيع:
أ) (−5/7) × (3/4) + (−5/7) × (1/4)
ب) (2/3) × (−9/5) + (2/3) × (−6/5)
ج) (−3/8) × (7/9) − (−3/8) × (−2/9)
المستوى 3: عمليات مركبة ومعادلات
التمرين 11: احسب:
A = 1/2 + (3/4) × (−2/3)
B = (2/5 − 1/2) ÷ (3/10)
C = (−3/4) × (2/3 − 1/6)
التمرين 12: احسب:
D = (−2/3 + 1/4) ÷ (5/6)
E = (3/4 − 5/6) × (−6)
التمرين 13: احسب (كتابة كسرية):
أ) (2/3) / (−4/9)
ب) (−5/6) / (10/3)
ج) (1/2 − 1/3) / (1/4 + 1/12)
التمرين 14: أوجد العدد x في كل حالة:
أ) x × (3/5) = −9/10
ب) (−4/7) × x = 8/21
ج) x ÷ (2/3) = −3/4
د) (5/2) ÷ x = −15/4
التمرين 15: ليكن a = −2/3 و b = 3/4.
أ) احسب a × b و a ÷ b و b ÷ a.
ب) هل القسمة تبادلية؟ علّل.
ج) ماذا تلاحظ على العددين a ÷ b و b ÷ a؟
المستوى 4: مسائل وتعمّق
التمرين 16: بيّن أن:
(1 − 1/2) × (1 − 1/3) × (1 − 1/4) × … × (1 − 1/10) = 1/10
(إرشاد: احسب كل قوس أولا ثم بسّط.)
التمرين 17: عدد نسبي x إذا ضربناه في (−5/6) نجد 15/8.
أ) احسب x.
ب) احسب x ÷ (−3/2).
التمرين 18: خزان ماء سعته 240 لترا. ملأنا منه 3/8، ثم استعملنا 2/5 من الماء الموجود فيه.
أ) ما كمية الماء المتبقية في الخزان؟
ب) ما الكسر الذي تمثله هذه الكمية من سعة الخزان؟
التمرين 19: قطعة قماش طولها 15 م. استعمل خياط 2/5 منها لصنع قميص، ثم استعمل 3/4 من الباقي لصنع سروال.
أ) احسب طول القماش المستعمل في كل مرحلة.
ب) ما طول القماش المتبقي؟
التمرين 20: ليكن
A = (−2/3 + 1/2) ÷ (1/6 − 5/12) × (−3/5)
أ) احسب A وأعط النتيجة في أبسط صورة.
ب) استنتج مقلوب A.
ج) حلّ المعادلة: A × x = 4/15
VII. الإجابات المختصرة
| التمرين | الإجابة |
|---|---|
| 1 | 10/21 ؛ −5/12 ؛ 6/35 ؛ 0 |
| 2 | سالب ؛ سالب ؛ موجب |
| 3 | 1/5 ؛ −1/3 ؛ 7/2 ؛ −9/4 ؛ 10/3 ؛ −1 ؛ 0 ليس له مقلوب |
| 4 | 3/10 ؛ −4 ؛ 3/16 ؛ 0 |
| 5 | −4/3 ؛ −1/2 ؛ −3/2 ؛ −2/3 |
| 6 | 10/9 ؛ 4/15 ؛ −6/25 |
| 7 | −1 ؛ −1 ؛ 2/3 |
| 8 | −10/3 ؛ −15 ؛ −1/6 ؛ 1/24 |
| 9 | A = 1 ؛ B = −1/2 |
| 10 | −5/7 ؛ −2 ؛ −3/8 |
| 11 | A = 0 ؛ B = −1/3 ؛ C = −3/8 |
| 12 | D = −1/2 ؛ E = 1/2 |
| 13 | −3/2 ؛ −1/4 ؛ 1/2 |
| 14 | −3/2 ؛ −2/3 ؛ −1/2 ؛ −2/3 |
| 15 | a×b = −1/2 ؛ a÷b = −8/9 ؛ b÷a = −9/8 ؛ ليست تبادلية، وهما مقلوبان لبعضهما |
| 16 | الجداء = (1/2)(2/3)…(9/10) = 1/10 |
| 17 | x = −9/4 ؛ الخارج = 3/2 |
| 18 | أ) 54 لترا ؛ ب) 9/40 |
| 19 | القميص 6 م ؛ السروال 27/4 = 6,75 م ؛ المتبقي 9/4 = 2,25 م |
| 20 | A = −2/5 ؛ مقلوبه −5/2 ؛ x = −2/3 |
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق