الرياضيات — المرحلة الإعدادية (السنة الثامنة أساسي) الدرس الشامل: الجمع والطرح في مجموعة الأعداد الكسرية النسبية (ℚ) شرح مفصل للقواعد مع سلسلة 22 تمرين متدرجة وإصلاحها الكامل

الرياضيات — المرحلة الإعدادية (السنة الثامنة أساسي)
الدرس الشامل: الجمع والطرح في مجموعة الأعداد الكسرية النسبية (ℚ)
شرح مفصل للقواعد مع سلسلة 22 تمرين متدرجة وإصلاحها الكامل

____________________________________________________

1. الشرح المفصل والقواعد الأساسية للدرس

 

أولاً: تعريف مجموعة الأعداد الكسرية النسبية (ℚ) • العدد الكسري النسبي هو كل عدد يمكن كتابته على الصورة a/b حيث a عدد صحيح نسبي (a ∈ ℤ) و b عدد صحيح نسبي غير معدوم (b ∈ ℤ*). • إشارة العدد الكسري النسبي:   - إذا كان لـ a و b نفس الإشارة، فإن العدد الكسري النسبي يكون موجباً (+).   - إذا كان لـ a و b إشارتان مختلفتا الإشارة، فإن العدد الكسري النسبي يكون سلباً (-).   - ملاحظة هامة: (-a) / b = a / (-b) = - (a / b).

 

ثانياً: قواعد جمع الأعداد الكسرية النسبية 1. جمع عددين كسريين نسبيين لهما نفس المقام: نحتفظ بالمقام الموحد ونجمع البسطين:  (a/m) + (b/m) = (a + b) / m مثال: (3/7) + (-5/7) = (3 + (-5)) / 7 = -2/7 2. جمع عددين كسريين نسبيين بمقامين مختلفين: نوحد المقامين أولاً بايجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامين، ثم نطبق قاعدة البسطين. مثال: (-2/3) + (5/4) = (-8/12) + (15/12) = (-8 + 15) / 12 = 7/12 3. خاصيات عملية الجمع في ℚ:  • التبديلية: a + b = b + a  • التجميعية: (a + b) + c = a + (b + c)  • العنصر المحايد هو الصفر: a + 0 = a  • لكل عدد كسري نسبي (a/b) مقابل هو (-a/b)، ومجموعهما يساوي صفر: (a/b) + (-a/b) = 0

 

ثالثاً: قواعد طرح الأعداد الكسرية النسبية وحذف الأقواس 1. قاعدة الطرح الأساسية: طرح عدد كسري نسبي يعني إضافة مقابله:  a - b = a + (-b) مثال: (-3/5) - (2/3) = (-3/5) + (-2/3) = (-9/15) + (-10/15) = -19/15 2. قواعد حذف الأقواس والتقويم (المجموع الجبري):  • إذا كانت القوس مسبوقة بعلامة (+)، نحذف القوس دون تغيير إشارات الحدود بداخلها.  • إذا كانت القوس مسبوقة بعلامة (-)، نحذف القوس مع تغيير إشارة كل حد داخل القوس.    صيغة: -(a - b + c) = -a + b - c

 

رابعاً: القيمة المطلقة والمعادلات في ℚ • القيمة المطلقة |x| هي مسافة وتقون دائماً موجبة أو معدومة (|x| ≥ 0). • لحل المعادلة |x - a| = b (حيث b ≥ 0):   نحصل على حالتين:  (x - a = b)  أو  (x - a = -b). • إذا كان b < 0 فإن المعادلة مستحيلة الحل في ℚ (S = ∅).

 

2. سلسلة التمارين التطبيقية المتدرجة (22 تمرين)

 

المستوى الأول: التمارين المباشرة وتوحيد المقامات (تمرين 1 إلى 6)

تمرين 1: أحسب المجاميع التالية التي لها نفس المقام:
  A = (2/9) + (5/9)   |   B = (-7/11) + (-3/11)   |   C = (-8/15) + (11/15)

تمرين 2: أحسب الفوارق التالية ذات المقام الموحد:
  D = (9/13) - (4/13)   |   E = (-5/8) - (3/8)   |   F = (-2/7) - (-9/7)

تمرين 3: أحسب المجاميع التالية بمقامات مختلفة (مضاعف مباشر):
  G = (1/2) + (3/4)   |   H = (-2/3) + (5/6)   |   I = (3/5) + (-7/10)

تمرين 4: أحسب الفوارق التالية مع توحيد المقامات:
  J = (3/4) - (1/6)   |   K = (-2/5) - (3/10)   |   L = (-5/12) - (-1/4)

تمرين 5: أكتب في صيغة عدد كسري نسبي اختزل ما يلي إن أمكن:
  M = 1.5 + (-2/3)   |   N = (-0.75) - (-5/4)   |   P = (-3) + (7/2)

تمرين 6: عين مقابل ومطلق الأعداد الكسرية التالية:
  (-4/9)  ,  (5/-3)  ,  0  ,  (-(-7/2))

المستوى الثاني: المجاميع الجبرية وحذف الأقواس (تمرين 7 إلى 12)

تمرين 7: أحسب بأيسر طريقة ممكنة (باستغلال التبديلية والتجميعية):
  A = (3/8) + (-5/11) + (5/8) + (-6/11)

تمرين 8: اختزل وحسب العبارات التالية المشتملة على أعداد متقابلة:
  B = (-4/7) + (2/5) - (-4/7) + (-2/5) + (3/4)

تمرين 9: احذف الأقواس والمعقفات ثم أحسب:
  C = (1/3 - 2/5) - (1/3 + 3/5)

تمرين 10: احذف الأقواس ثم بسط العبارات الحرفية التالية (حيث x عدد كسري نسبي):
  E = (x - 3/4) - (x + 1/2)   |   F = -(2/3 - x) + (-x - 1/6)

تمرين 11: أحسب المجموع الجبري التالي بالتفكيك والتبسيط:
  G = [ 1 - (2/3 - 1/4) ] - [ 1/2 + (1/3 - 3/4) ]

تمرين 12: قارن بين العددين A و B ببدراسة إشارة الفارق (A - B):
  A = (1/3) - (2/5)   و   B = (1/4) - (1/2)

المستوى الثالث: حساب المجاهيل والمعادلات البسيطة (تمرين 13 إلى 17)

تمرين 13: أوجد العدد الكسري النسبي x في كل حالة:
  1) x + (3/5) = 1/2   |   2) x - (2/7) = -3/14

تمرين 14: أوجد العدد الكسري النسبي x في كل حالة:
  1) (1/4) - x = 5/8   |   2) (-2/3) - x = -1

تمرين 15: أوجد x إذا علمت أن:
  1) |x| = 3/4   |   2) |x| = -2/5   |   3) |x| = 0

تمرين 16: أوجد العدد الكسري النسبي x في الحالات التالية:
  1) |x - 1/2| = 2/3   |   2) |x + 3/4| = 1/4

تمرين 17: أوجد العدد الكسري النسبي x حيث:
  |x - 2/5| + 1/2 = 5/6

المستوى الرابع: الوضعيات الإدماجية والمسائل والتمارين المتقدمة (تمرين 18 إلى 22)

تمرين 18 (مسألة إدماجية - الميزانية والكسور):
يمتلك أحمد مبلغاً من المال. صرف في اليوم الأول (1/3) المبلغ، وفي اليوم الثاني (2/5) المبلغ، وفي اليوم الثالث (2/15) المبلغ.
1) ما هو النسبة الكسرية الإجمالية للمبلغ الذي صرفه أحمد في الأيام الثلاثة؟
2) ما هو الكسر النسبي الذي يمثل المبلغ المتبقي لديه؟

تمرين 19 (مسألة إدماجية - درجات الحرارة والارتفاعات):
في غرفتي تبريد، سجلت درجة الحرارة في الغرفة الأولى (-5/2 °C) وفي الغرفة الثانية (-11/4 °C).
1) أي الغرفتين أكثر برودة؟ (قارن بين درجات الحرارة).
2) أحسب الفارق في درجة الحرارة بين الغرفتين.

تمرين 20 (عبارات حرفية معقدة وشروط):
نعتبر العبارتين: A = x - (y + 1/3) + 1/2  و  B = (x - 1/6) - (y - 1/4)
1) بسط العبارتين A و B.
2) احسب الفارق (A - B) واستنتج هل أن قيمة (A - B) تتغير بتغير x و y؟

تمرين 21 (معادلات مراربة مع القيمة المطلقة):
حل في ℚ المعادلة التالية مع التعليل الكامل:
  ||x - 1/3| - 1/2| = 1/4

تمرين 22 (تمرين تميز ونهايات سلاسل كسرية):
أحسب المجموع المتسلسل التالي بأيسر طريقة ممكنة:
  S = (1/1×2) + (1/2×3) + (1/3×4) + (1/4×5) + ... + (1/99×100)
  (إرشاد: أثبت أولاً أن 1/(n(n+1)) = (1/n) - (1/(n+1)))

3. الإصلاح والتصحيح الشامل لكافة التمارين (1 إلى 22)

 

رقم التمرين	الإصلاح والحلول التفصيلية (المستوى 1)
تمرين 1	A = (2+5)/9 = 7/9  |  B = (-7 - 3)/11 = -10/11  |  C = (-8+11)/15 = 3/15 = 1/5
تمرين 2	D = (9-4)/13 = 5/13  |  E = (-5-3)/8 = -8/8 = -1  |  F = (-2 + 9)/7 = 7/7 = 1
تمرين 3	G = 2/4 + 3/4 = 5/4  |  H = -4/6 + 5/6 = 1/6  |  I = 6/10 - 7/10 = -1/10
تمرين 4	J = 9/12 - 2/12 = 7/12  |  K = -4/10 - 3/10 = -7/10  |  L = -5/12 + 3/12 = -2/12 = -1/6
تمرين 5	M = 3/2 - 2/3 = 9/6 - 4/6 = 5/6  |  N = -3/4 + 5/4 = 2/4 = 1/2  |  P = -6/2 + 7/2 = 1/2
تمرين 6	مقابل (-4/9) هو 4/9 ومطلقه 4/9 | مقابل (5/-3) هو 5/3 ومطلقه 5/3 | مطلق وقابل 0 هو 0

 

رقم التمرين	الإصلاح والحلول التفصيلية (المستوى 2)
تمرين 7	A = (3/8 + 5/8) + (-5/11 - 6/11) = (8/8) + (-11/11) = 1 + (-1) = 0
تمرين 8	B = (-4/7 - (-4/7)) + (2/5 + (-2/5)) + 3/4 = 0 + 0 + 3/4 = 3/4
تمرين 9	C = 1/3 - 2/5 - 1/3 - 3/5 = (1/3 - 1/3) + (-2/5 - 3/5) = 0 + (-5/5) = -1
تمرين 10	E = x - 3/4 - x - 1/2 = -3/4 - 2/4 = -5/4 F = -2/3 + x - x - 1/6 = -4/6 - 1/6 = -5/6
تمرين 11	G = [1 - 2/3 + 1/4] - [1/2 + 1/3 - 3/4] = 1 - 2/3 + 1/4 - 1/2 - 1/3 + 3/4 = (1) + (-2/3 - 1/3) + (1/4 + 3/4) - 1/2 = 1 - 1 + 1 - 1/2 = 1/2
تمرين 12	A = 5/15 - 6/15 = -1/15 B = 1/4 - 2/4 = -1/4 = -15/60  و A = -4/60 A - B = -4/60 - (-15/60) = 11/60 > 0  إذن A > B

 

رقم التمرين	الإصلاح والحلول التفصيلية (المستوى 3)
تمرين 13	1) x = 1/2 - 3/5 = 5/10 - 6/10 = -1/10 2) x = -3/14 + 2/7 = -3/14 + 4/14 = 1/14
تمرين 14	1) x = 1/4 - 5/8 = 2/8 - 5/8 = -3/8 2) x = -2/3 - (-1) = -2/3 + 3/3 = 1/3
تمرين 15	1) x = 3/4 أو x = -3/4 2) مستحيلة S = ∅ لأن القيمة المطلقة لا تكون سلبية أبداً 3) x = 0
تمرين 16	1) x - 1/2 = 2/3 ⇒ x = 2/3 + 1/2 = 7/6  أو  x - 1/2 = -2/3 ⇒ x = -2/3 + 1/2 = -1/6 2) x + 3/4 = 1/4 ⇒ x = -2/4 = -1/2  أو  x + 3/4 = -1/4 ⇒ x = -1
تمرين 17	|x - 2/5| = 5/6 - 1/2 = 5/6 - 3/6 = 2/6 = 1/3 إما x - 2/5 = 1/3 ⇒ x = 1/3 + 2/5 = 11/15 أو x - 2/5 = -1/3 ⇒ x = -1/3 + 2/5 = 1/15

 

رقم التمرين	الإصلاح والحلول التفصيلية (المستوى 4 - المتقدم)
تمرين 18	1) مجموع ما صرفه: (1/3) + (2/5) + (2/15) = (5/15) + (6/15) + (2/15) = 13/15 المبلغ. 2) الكسر المتبقي: 1 - (13/15) = (15/15) - (13/15) = 2/15 المبلغ.
تمرين 19	1) المقارنة: -5/2 = -10/4  و  -11/4. بما أن -11/4 < -10/4، فالغرفة الثانية أكثر برودة. 2) الفارق: (-5/2) - (-11/4) = (-10/4) + (11/4) = 1/4 °C.
تمرين 20	1) A = x - y - 1/3 + 1/2 = x - y + 1/6 B = x - 1/6 - y + 1/4 = x - y + 1/12 2) A - B = (x - y + 1/6) - (x - y + 1/12) = 1/6 - 1/12 = 1/12 (ثابتة لا تتغير بتغير x و y).
تمرين 21	الحالة أ: |x - 1/3| - 1/2 = 1/4 ⇒ |x - 1/3| = 3/4 ⇒ x - 1/3 = 3/4 ⇒ x = 13/12  أو  x - 1/3 = -3/4 ⇒ x = -5/12 الحالة ب: |x - 1/3| - 1/2 = -1/4 ⇒ |x - 1/3| = 1/4 ⇒ x - 1/3 = 1/4 ⇒ x = 7/12  أو  x - 1/3 = -1/4 ⇒ x = 1/12 مجموعة الحلول S = { 13/12 , -5/12 , 7/12 , 1/12 }.
تمرين 22	بما أن 1/(n(n+1)) = (1/n) - (1/(n+1))، نعوض العوامل: S = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/99 - 1/100) ختزل الحدود المتقابلة المتتالية ليبقى فقط الحد الأول والأخير: S = 1 - 1/100 = 99/100.