رباعيات الاضلاع درس ثامنة أساسي مع تطبيقات وتمارين مصلحة ومتدرجة في الصعوبة

رباعيات الأضلاع

متوازي الأضلاع – المستطيل – المعين – المربع | السنة الثامنة من التعليم الأساسي | الدرس و٣٠ تمرينا متدرجة

I. تذكير

• الرباعي له أربعة رؤوس وأربعة أضلاع وقطران، ومجموع زواياه 360°.
• نسمي الرباعي بترتيب رؤوسه المتتالية: ABCD ؛ الضلعان [AB] و [CD] متقابلان، والقطران هما [AC] و [BD].
• شبه المنحرف رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان.
• إذا كان مستقيمان متوازيين وقطعهما مستقيم ثالث فإن الزاويتين المتبادلتين داخليا متقايستان.
• نظيرة نقطة A بالنسبة إلى نقطة O هي النقطة A' بحيث يكون O منتصف [AA'].
• حالات تقايس مثلثين: ض ض ض ، ض ز ض ، ز ض ز.

II. متوازي الأضلاع

1) التعريف

متوازي الأضلاع رباعي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان: (AB) ∥ (DC) و (AD) ∥ (BC).

2) الخاصيات

في متوازي الأضلاع ABCD مركزه O:

• كل ضلعين متقابلين متقايسان: AB = DC و AD = BC.
• كل زاويتين متقابلتين متقايستان: ∠A = ∠C و ∠B = ∠D ؛ وكل زاويتين متتاليتين متكاملتان: ∠A + ∠B = 180°.
• القطران يتقاطعان في منتصفهما: OA = OC و OB = OD ، ولذلك فإن O مركز تناظر للشكل.

3) كيف نبرهن أن رباعيا هو متوازي أضلاع؟

يكون رباعي متوازي أضلاع إذا تحقق أحد الشروط التالية:

• ضلعاه المتقابلان متوازيان مثنى مثنى (التعريف).
• ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان.
• كل ضلعين متقابلين متقايسان.
• قطراه يتقاطعان في منتصفهما.
• كل زاويتين متقابلتين متقايستان.

انتبه: لا يكفي أن يكون ضلعان متقابلان متوازيين فقط (شبه منحرف)، ولا أن يكون ضلعان متقابلان متقايسين فقط.

III. المستطيل

التعريف: المستطيل رباعي زواياه الأربع قائمة.

الخاصيات: المستطيل متوازي أضلاع، فله كل خاصيات متوازي الأضلاع. وله أيضا: قطراه متقايسان: AC = BD ، ومنه OA = OB = OC = OD.

كيف نبرهن أن رباعيا مستطيل؟ يكون رباعي مستطيلا إذا كان:

• له ثلاث زوايا قائمة.
• متوازي أضلاع له زاوية قائمة.
• متوازي أضلاع قطراه متقايسان.

IV. المعين

التعريف: المعين رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة.

الخاصيات: المعين متوازي أضلاع، فله كل خاصيات متوازي الأضلاع. وله أيضا: قطراه متعامدان: (AC) ⊥ (BD) ، وكل قطر منهما منصف للزاويتين اللتين يمر برأسيهما.

كيف نبرهن أن رباعيا معين؟ يكون رباعي معينا إذا كان:

• أضلاعه الأربعة متقايسة.
• متوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان.
• متوازي أضلاع قطراه متعامدان.

V. المربع

التعريف: المربع رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة وزواياه الأربع قائمة، أي أنه مستطيل ومعين في آن واحد.

الخاصيات: للمربع كل خاصيات المستطيل وكل خاصيات المعين: قطراه متقايسان ومتعامدان ويتقاطعان في منتصفهما، وكل قطر يصنع مع كل ضلع مجاور له زاوية 45°.

كيف نبرهن أن رباعيا مربع؟ يكون رباعي مربعا إذا كان:

• مستطيلا له ضلعان متتاليان متقايسان.
• معينا له زاوية قائمة.
• متوازي أضلاع قطراه متقايسان ومتعامدان.

VI. جدول ملخص

الرباعي	الأضلاع المتقابلة متوازية	الأضلاع الأربعة متقايسة	الزوايا الأربع قائمة	القطران متقايسان	القطران متعامدان
متوازي الأضلاع	دائما	ليس دائما	ليس دائما	ليس دائما	ليس دائما
المستطيل	دائما	ليس دائما	دائما	دائما	ليس دائما
المعين	دائما	دائما	ليس دائما	ليس دائما	دائما
المربع	دائما	دائما	دائما	دائما	دائما

تذكر: كل مربع هو مستطيل ومعين، وكل مستطيل أو معين هو متوازي أضلاع. أي: المربع ⊂ المستطيل ⊂ متوازي الأضلاع ، والمربع ⊂ المعين ⊂ متوازي الأضلاع.

VII. كيف نبرهن؟

• نحدد ما نريد إثباته (نوع الرباعي) ونسترجع الشروط الكافية لذلك.
• نبحث في المعطيات عن أحد هذه الشروط ونبرر كل معلومة نستعملها.
• نذكر الخاصية المستعملة ثم نستنتج.

مثال 1

المعطيات: ABC مثلث و M منتصف [BC] و D نظيرة A بالنسبة إلى M. المطلوب: بيّن أن ABDC متوازي أضلاع.

الحل: الرباعي ABDC قطراه [AD] و [BC] يتقاطعان في M. لدينا M منتصف [BC] (فرضية)، و M منتصف [AD] لأن D نظيرة A بالنسبة إلى M. إذن قطرا ABDC يتقاطعان في منتصفهما، فهو متوازي أضلاع.

مثال 2

المعطيات: ABCD متوازي أضلاع و AB = BC. المطلوب: بيّن أن ABCD معين.

الحل: ABCD متوازي أضلاع، إذن AB = CD و BC = AD. وبما أن AB = BC فإن AB = BC = CD = DA. أضلاعه الأربعة متقايسة، فهو معين.

VIII. التمارين

المستوى 1: تطبيق مباشر (التمارين 1 – 8)

التمرين 1:

ABCD متوازي أضلاع حيث AB = 5 cm و BC = 3 cm و ∠A = 70°. أعط CD ، AD ، ∠C ، ∠B ، ∠D ثم محيط ABCD.

التمرين 2:

ABCD متوازي أضلاع مركزه O حيث OA = 3 cm و OB = 2,5 cm. أعط OC ، OD ، AC ، BD.

التمرين 3:

أجب بـ «صحيح» أو «خطأ»:

أ) كل مربع هو مستطيل.

ب) كل مستطيل هو معين.

ج) كل معين هو متوازي أضلاع.

د) قطرا المعين متقايسان دائما.

هـ) قطرا المستطيل متعامدان دائما.

و) كل متوازي أضلاع له زاوية قائمة.

التمرين 4:

سمّ الرباعي في كل حالة (متوازي أضلاع / مستطيل / معين / مربع) مع التعليل:

أ) رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة.

ب) رباعي زواياه الأربع قائمة.

ج) رباعي زواياه الأربع قائمة وأضلاعه الأربعة متقايسة.

د) رباعي قطراه يتقاطعان في منتصفهما.

هـ) رباعي قطراه متقايسان ويتقاطعان في منتصفهما.

التمرين 5:

ABCD مستطيل مركزه O و AC = 10 cm. أعط BD ثم OA و OB و OC و OD. ما نوع المثلث OAB؟

التمرين 6:

ABCD معين مركزه O ومحيطه 24 cm.

أ) احسب طول ضلعه.

ب) إذا كان AC = 8 cm و BD = 6 cm فاحسب OA و OB وأعط قيس ∠AOB.

التمرين 7:

EFGH مربع طول ضلعه 4 cm ومركزه O. أعط محيطه، ثم قارن EG و FH، ثم أعط قيس ∠EOF و ∠FEG.

التمرين 8:

ABCD متوازي أضلاع حيث ∠A = 2x + 10° و ∠C = x + 50°.

أ) احسب x.

ب) احسب زوايا ABCD الأربع، ثم سمّ نوع هذا الرباعي.

المستوى 2: تعرف الرباعيات وبراهين قصيرة (التمارين 9 – 16)

التمرين 9:

في كل حالة، هل الرباعي ABCD متوازي أضلاع؟ علّل أو اكتب «لا يمكن الاستنتاج»:

أ) AB = CD و BC = AD.

ب) [AC] و [BD] يتقاطعان في O حيث OA = OC و OB = OD.

ج) (AB) ∥ (CD) و AD = BC.

د) (AB) ∥ (CD) و AB = CD.

التمرين 10:

ABCD متوازي أضلاع. I منتصف [AB] و J منتصف [CD].

أ) بيّن أن AI = CJ وأن (AI) ∥ (CJ).

ب) استنتج أن AICJ متوازي أضلاع.

التمرين 11:

ABCD متوازي أضلاع مركزه O. E و F نقطتان من [AC] بحيث AE = CF.

أ) بيّن أن OE = OF.

ب) استنتج أن BEDF متوازي أضلاع.

التمرين 12:

ABCD متوازي أضلاع قطراه [AC] و [BD] متقايسان.

أ) بيّن أن المثلثين ABC و BAD متقايسان.

ب) استنتج أن ∠ABC = ∠BAD ثم أن ∠ABC = 90°.

ج) ما نوع الرباعي ABCD؟

التمرين 13:

ABCD متوازي أضلاع مركزه O و AB = BC.

أ) بيّن أن ABCD معين.

ب) بيّن أن المثلثين OAB و OCB متقايسان.

ج) استنتج أن (AC) ⊥ (BD).

التمرين 14:

ABCD مستطيل مركزه O حيث AC = 10 cm و ∠AOB = 60°.

أ) بيّن أن OA = OB ثم حدد نوع المثلث OAB.

ب) احسب AB و ∠OAB.

ج) احسب ∠DAC.

التمرين 15:

ABCD مربع مركزه O.

أ) ما نوع المثلث OAB؟ علّل.

ب) احسب ∠OAB.

ج) استنتج قيس الزاوية بين القطر [AC] والضلع [AB].

التمرين 16:

ABCD متوازي أضلاع حيث AB = 2x + 3 و CD = x + 8 و BC = 3y − 2 و AD = y + 6.

أ) أوجد x و y.

ب) احسب AB و BC ثم محيط ABCD.

المستوى 3: براهين متوسطة (التمارين 17 – 24)

التمرين 17:

ABCD متوازي أضلاع مركزه O. H و K المسقطان العموديان لـ B و D على المستقيم (AC).

أ) بيّن أن (BH) ∥ (DK).

ب) بيّن أن المثلثين OBH و ODK متقايسان، ثم استنتج أن BH = DK.

ج) استنتج أن BHDK متوازي أضلاع.

التمرين 18:

ABCD متوازي أضلاع. E نظيرة D بالنسبة إلى C.

أ) بيّن أن CE = AB وأن (CE) ∥ (AB).

ب) استنتج أن ABEC متوازي أضلاع.

التمرين 19:

ABCD مستطيل و M منتصف [AB].

أ) بيّن أن المثلثين MAD و MBC متقايسان.

ب) استنتج أن MD = MC ثم حدد نوع المثلث MCD.

التمرين 20:

ABCD معين مركزه O.

أ) بيّن أن المثلثات OAB و OBC و OCD و ODA قائمة الزاوية في O.

ب) بيّن أنها متقايسة.

التمرين 21:

ABCD معين حيث ∠DAB = 60°.

أ) بيّن أن المثلث ABD متقايس الأضلاع.

ب) احسب ∠ABC.

ج) إذا كان محيط ABCD يساوي 24 cm فاحسب BD.

التمرين 22:

ABCD متوازي أضلاع مركزه O. مستقيم يمر بـ O يقطع [AB] في M و [CD] في N.

أ) بيّن أن المثلثين OAM و OCN متقايسان.

ب) استنتج أن O منتصف [MN].

التمرين 23:

ABCD متوازي أضلاع. منصف الزاوية ∠DAB يقطع [BC] في E.

أ) بيّن أن ∠DAE = ∠AEB (إرشاد: الزاويتان المتبادلتان داخليا).

ب) استنتج أن ∠EAB = ∠AEB ثم أن BE = BA.

التمرين 24:

ABCD معين و M نقطة من القطر [AC].

أ) بيّن أن المثلثين ABM و ADM متقايسان.

ب) استنتج أن MB = MD.

المستوى 4: مسائل وتعمّق (التمارين 25 – 30)

التمرين 25:

ABCD متوازي أضلاع مركزه O. E نقطة من [AB] و F نقطة من [CD] بحيث AE = CF.

أ) بيّن أن AECF متوازي أضلاع.

ب) بيّن أن EBFD متوازي أضلاع.

ج) بيّن أن النقط E و O و F على استقامة واحدة.

التمرين 26:

ABCD مستطيل حيث AB = 2 BC و M منتصف [AB].

أ) بيّن أن AM = AD وأن المثلث AMD قائم الزاوية ومتساوي الساقين.

ب) احسب ∠AMD وكذلك ∠BMC.

ج) استنتج أن ∠DMC = 90°.

التمرين 27:

ABCD مربع. E و F و G و H نقط من [AB] و [BC] و [CD] و [DA] على التوالي بحيث AE = BF = CG = DH.

أ) بيّن أن BE = CF = DG = AH.

ب) بيّن أن المثلثات AEH و BFE و CGF و DHG متقايسة، ثم استنتج أن EFGH معين.

ج) بيّن أن ∠HEF = 90° ثم استنتج أن EFGH مربع.

التمرين 28:

رباعي مفصلي ABCD مصنوع من أربعة قضبان: AB = CD = 60 cm و AD = BC = 40 cm ، ويمكن تغيير زواياه.

أ) بيّن أن ABCD يبقى متوازي أضلاع مهما كانت زواياه.

ب) احسب محيطه.

ج) أعطينا الزاوية ∠A القيمة 60°. احسب الزوايا الأخرى.

د) ما الرباعي الذي نحصل عليه عندما تصبح ∠A = 90°؟ وماذا نلاحظ على قطريه؟

التمرين 29:

أنشئ معينا ABCD حيث AB = 5 cm و AC = 8 cm (إرشاد: أنشئ المثلث ABC حيث BA = BC = 5 cm ثم نظيرة B بالنسبة إلى منتصف [AC]).

أ) علّل أن الرباعي المنشأ معين.

ب) قس BD.

التمرين 30:

ABCD متوازي أضلاع مركزه O. E و F و G و H منتصفات [OA] و [OB] و [OC] و [OD] على التوالي.

أ) بيّن أن EFGH متوازي أضلاع.

ب) إذا كان ABCD مستطيلا فبيّن أن EFGH مستطيل.

ج) إذا كان ABCD معينا فبيّن أن EFGH معين.

IX. الإجابات المختصرة — اضغط للإظهار

التمرين	الإجابة
1	CD = 5 cm ؛ AD = 3 cm ؛ ∠C = 70° ؛ ∠B = ∠D = 110° ؛ المحيط 16 cm
2	OC = 3 cm ؛ OD = 2,5 cm ؛ AC = 6 cm ؛ BD = 5 cm
3	أ) صحيح ؛ ب) خطأ ؛ ج) صحيح ؛ د) خطأ ؛ هـ) خطأ ؛ و) خطأ
4	أ) معين ؛ ب) مستطيل ؛ ج) مربع ؛ د) متوازي أضلاع ؛ هـ) مستطيل
5	BD = 10 cm ؛ OA = OB = OC = OD = 5 cm ؛ OAB متساوي الساقين رأسه O
6	أ) 6 cm ؛ ب) OA = 4 cm و OB = 3 cm و ∠AOB = 90°
7	المحيط 16 cm ؛ EG = FH ؛ ∠EOF = 90° ؛ ∠FEG = 45°
8	أ) x = 40 ؛ ب) الزوايا الأربع 90° ← مستطيل
9	أ) نعم (كل ضلعين متقابلين متقايسان) ؛ ب) نعم (القطران يتقاطعان في منتصفهما) ؛ ج) لا يمكن الاستنتاج (قد يكون شبه منحرف) ؛ د) نعم (ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان)
10	أ) AI = AB/2 = CD/2 = CJ و (AB) ∥ (CD) ؛ ب) ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان
11	أ) OE = OA − AE = OC − CF = OF ؛ ب) OB = OD و OE = OF ← قطراه يتقاطعان في منتصفهما
12	أ) AB مشترك ، BC = AD ، AC = BD ← ض ض ض ؛ ب) ∠ABC + ∠BAD = 180° ومتقايستان ← 90° ؛ ج) مستطيل
13	أ) أضلاعه الأربعة متقايسة ؛ ب) OA = OC ، BA = BC ، OB مشترك ← ض ض ض ؛ ج) ∠AOB = ∠COB ومجموعهما 180° ← 90°
14	أ) OA = OB (قطرا المستطيل) و ∠AOB = 60° ← OAB متقايس الأضلاع ؛ ب) AB = OA = 5 cm و ∠OAB = 60° ؛ ج) ∠DAC = 90° − 60° = 30°
15	أ) OAB قائم الزاوية ومتساوي الساقين رأسه O ؛ ب) ∠OAB = 45° ؛ ج) 45°
16	أ) x = 5 و y = 4 ؛ ب) AB = 13 و BC = 10 والمحيط 46
17	أ) (BH) ⊥ (AC) و (DK) ⊥ (AC) ؛ ب) وتر وزاوية حادة (OB = OD ، ∠BOH = ∠DOK) ؛ ج) (BH) ∥ (DK) و BH = DK
18	أ) CE = DC = AB و (CE) ∥ (DC) ∥ (AB) ؛ ب) ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان
19	أ) MA = MB ، AD = BC ، ∠A = ∠B = 90° ← ض ز ض ؛ ب) MD = MC ← MCD متساوي الساقين رأسه M
20	أ) قطرا المعين متعامدان ؛ ب) AB = BC = CD = DA و OA = OC و OB = OD ← ض ض ض
21	أ) AB = AD و ∠A = 60° ← ABD متقايس الأضلاع ؛ ب) ∠ABC = 180° − 60° = 120° ؛ ج) AB = 6 cm ← BD = AB = 6 cm
22	أ) OA = OC ، ∠AOM = ∠CON (متقابلتان بالرأس) ، ∠OAM = ∠OCN (متبادلتان داخليا) ← ز ض ز ؛ ب) OM = ON
23	أ) ∠DAE = ∠AEB (متبادلتان داخليا) ؛ ب) ∠EAB = ∠DAE (منصف) ← ∠EAB = ∠AEB ← BE = BA
24	أ) AB = AD ، ∠BAM = ∠DAM ، AM مشترك ← ض ز ض ؛ ب) MB = MD
25	أ) AE = CF و (AE) ∥ (CF) ؛ ب) EB = AB − AE = CD − CF = DF و (EB) ∥ (DF) ؛ ج) قطرا AECF يتقاطعان في منتصفهما O ← O منتصف [EF]
26	أ) AD = AB/2 = AM ؛ ب) ∠AMD = 45° و ∠BMC = 45° ؛ ج) ∠DMC = 180° − 45° − 45° = 90°
27	أ) BE = AB − AE و CF = BC − BF و AB = BC و AE = BF ← BE = CF ، وكذلك DG = AH ؛ ب) ض ز ض ← EH = FE = GF = HG ؛ ج) ∠BEF = ∠AHE ← ∠HEF = 180° − (∠AEH + ∠AHE) = 90° ← مربع
28	أ) كل ضلعين متقابلين متقايسان ؛ ب) 200 cm ؛ ج) ∠C = 60° و ∠B = ∠D = 120° ؛ د) مستطيل وقطراه متقايسان
29	أ) قطراه يتقاطعان في منتصفهما ← متوازي أضلاع ، و BA = BC ← معين ؛ ب) BD = 6 cm
30	أ) OE = OA/2 = OC/2 = OG و OF = OH ← قطرا EFGH يتقاطعان في منتصفهما ؛ ب) AC = BD ← EG = FH (مستطيل) ؛ ج) (AC) ⊥ (BD) ← (EG) ⊥ (FH) (معين)