المعادلات من الدرجة الاولى لتلاميذ الثامنة اساسي درس مع تمارين تطبيقية

⚖️ المعادلات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحد

ميزان تفاعلي، حلّ خطوة بخطوة، رسوم بيانية، ومسائل — a x + b = c x + d

🎯 أهداف الدرس

• أن أفهم معنى المعادلة وحلّها وأن أتحقق من صحة حلّ.
• أن أحلّ معادلات من الأنواع : x + b = c ، a x = c ، a x + b = c ، a x + b = c x + d.
• أن أحلّ معادلات فيها أقواس وكسور.
• أن أحلّ معادلة بيانيا بقراءة نقطة تقاطع مستقيمين.
• أن أحلّ مسائل بوضعها في معادلة.

1

ما هي المعادلة ؟

• المعادلة مساواة فيها عدد مجهول نرمز له بحرف مثل x. مثال : x + 3 = 7.
• ما على يمين علامة = و يسارها يسمّى طرفي المعادلة.
• حلّ المعادلة هو العدد الذي إذا عوّضنا به x أصبحت المساواة صحيحة.
• مثال : x = 4 هو حلّ للمعادلة x + 3 = 7 لأن 4 + 3 = 7 ✔.
• نسمّي هذه المعادلة من الدرجة الأولى لأن المجهول x لا يظهر إلا بقوّة 1 (لا يوجد x²).

الميزان يشرح المعادلة ⚖️

نتخيّل المعادلة ميزانا متوازنا : كفة اليمين وكفة اليسار لهما نفس الوزن. الصندوق x وزنه مجهول، والمكعبات الصغيرة وزن كل منها 1.

في الرسم : x + 3 = 7. إذا أخذنا 3 مكعبات من كل كفة يبقى الميزان متوازنا : x = 4.

💡 التحقق : نعوّض x بالحلّ في كل طرف ونحسب. إذا وجدنا نفس العدد فالحلّ صحيح.

2

قواعد حلّ المعادلات

القاعدة 1 : إذا أضفنا (أو طرحنا) العدد نفسه إلى طرفي معادلة، نحصل على معادلة مكافئة (لها نفس الحلّ).

القاعدة 2 : إذا ضربنا (أو قسمنا) طرفي معادلة في العدد نفسه غير المعدوم، نحصل على معادلة مكافئة.

المعادلة	العملية على الطرفين	المعادلة المكافئة
x + 5 = 12	نطرح 5	x = 7
x − 4 = 9	نضيف 4	x = 13
3x = 12	نقسم على 3	x = 4
x ÷ 2 = 8	نضرب في 2	x = 16

⚡ اختصار (نقل حدّ) : عندما ننقل حدّا من طرف إلى الطرف الآخر تتغيّر إشارته : x + 5 = 12 ⟸ x = 12 − 5.

3

أمثلة محلولة (من السهل إلى الأصعب)

مثال 1 : x + 5 = 12

نطرح 5 من الطرفين : x = 12 − 5 = 7

التحقق : 7 + 5 = 12 ✔

مثال 2 : 3x = 12

نقسم الطرفين على 3 : x = 12 ÷ 3 = 4

التحقق : 3 × 4 = 12 ✔

مثال 3 : 2x + 3 = 11

نطرح 3 من الطرفين : 2x = 8

نقسم الطرفين على 2 : x = 4

التحقق : 2 × 4 + 3 = 11 ✔

مثال 4 : 3x + 2 = x + 10 (المجهول في الطرفين)

نطرح x من الطرفين : 2x + 2 = 10

نطرح 2 من الطرفين : 2x = 8

نقسم على 2 : x = 4

التحقق : 3 × 4 + 2 = 14 و 4 + 10 = 14 ✔

مثال 5 : معادلة فيها أقواس 2(x + 3) = 14

ننشر (خاصية التوزيع) : 2x + 6 = 14

نطرح 6 : 2x = 8 ⟸ x = 4

التحقق : 2 × (4 + 3) = 14 ✔

مثال 6 : معادلة فيها كسر x ÷ 2 + 3 = 7

نطرح 3 : x ÷ 2 = 4

نضرب الطرفين في 2 : x = 8

التحقق : 8 ÷ 2 + 3 = 7 ✔

حالتان خاصتان

لا حلّ : x + 1 = x + 2 ⟸ نطرح x فنجد 1 = 2 وهذا مستحيل : المعادلة ليس لها حلّ.
عدد لا نهائي من الحلول : 2x + 2 = 2(x + 1) ⟸ ننشر فنجد 2x + 2 = 2x + 2 : المساواة صحيحة مهما كان x.

طريقة الحلّ في 4 خطوات :

1. أنشر وأبسّط كل طرف (أقواس، كسور).
2. أجمع حدود x في طرف والأعداد في الطرف الآخر.
3. أقسم الطرفين على معامل x.
4. أتحقق بالتعويض.

4

🔬 المختبر : الميزان والحلّ بالخطوات

اكتب معاملات المعادلة a x + b = c x + d أو اختر مثالا جاهزا، ثم تنقّل بين الخطوات وشاهد الميزان والرسم البياني :

x + = x +

📈 الرسم البياني للمعادلة

المستقيم الأزرق y = a x + b (الطرف الأول) والمستقيم البرتقالي y = c x + d (الطرف الثاني). فاصلة نقطة التقاطع هي حلّ المعادلة.

5

الحلّ البياني لمعادلة

الطريقة : لحلّ المعادلة a x + b = c x + d بيانيا :

1. نرسم المستقيم y = a x + b .
2. نرسم المستقيم y = c x + d .
3. نقرأ فاصلة نقطة التقاطع : إنها حلّ المعادلة.

مثال : المعادلة 2x + 1 = x + 5 :

المستقيمان يتقاطعان في النقطة (4 , 9) إذن x = 4 ✔ (تحقق : 2 × 4 + 1 = 9 و 4 + 5 = 9).

💡 إذا كان المستقيمان متوازيين فلا نقطة تقاطع : المعادلة بلا حلّ. وإذا انطبقا فعدد الحلول لا نهائي.

6

حلّ مسائل بالمعادلات 🧩

خطوات حلّ مسألة : ① أختار المجهول x ② أكتب المعادلة ③ أحلّها ④ أتحقق ⑤ أجيب بجملة.

مثال 1 : المستطيل

مستطيل طوله يزيد عن عرضه بـ 3 cm ومحيطه 26 cm. ما أبعاده ؟

نختار : العرض x ⟸ الطول x + 3.

المحيط : 2 × (x + x + 3) = 26 ⟸ 4x + 6 = 26 ⟸ 4x = 20 ⟸ x = 5.

الجواب : العرض 5 cm والطول 8 cm. (تحقق : 2 × 13 = 26 ✔)

مثال 2 : الأعمار

عمر الأب 36 سنة وعمر ابنه 8 سنوات. بعد كم سنة يصبح عمر الأب ثلاثة أمثال عمر ابنه ؟

بعد x سنة : 36 + x = 3 × (8 + x) ⟸ 36 + x = 24 + 3x ⟸ 12 = 2x ⟸ x = 6.

الجواب : بعد 6 سنوات (الأب 42 والابن 14 : 3 × 14 = 42 ✔).

مثال 3 : النادي الرياضي (مقارنة بالرسم)

النادي A : اشتراك 15 دينارا + 5 دنانير لكل حصة. النادي B : 8 دنانير لكل حصة بلا اشتراك. بعد كم حصة يتساوى المبلغان ؟

15 + 5x = 8x ⟸ 15 = 3x ⟸ x = 5.

الجواب : بعد 5 حصص يدفع الجميع 40 دينارا. بعد ذلك يصبح النادي A أرخص (انظر الرسم).

!

أخطاء شائعة ⚠️

1. أنفّذ العملية على طرف واحد فقط ✗ : يجب أن أنفّذها على الطرفين.
2. أنسى تغيير الإشارة عند نقل حدّ : x + 5 = 12 ⟸ x = 12 − 5 وليس 12 + 5.
3. أنسى توزيع الضرب على كل حدود القوس : 2(x + 3) = 2x + 6 وليس 2x + 3.
4. أقسم على المعامل خطأ : 3x = 12 ⟸ x = 12 ÷ 3 وليس 12 × 3.
5. لا أتحقق من الحلّ بالتعويض.

تمارين

📝 التمارين (0 سؤال)

اكتب قيمة x (يمكنك كتابة عدد كسري مثل 7/2 أو عشري مثل 3,5) ثم اضغط « تحقق ».

النتيجة الكلية : 0 / 0

تحدّ

🏆 التحدّي النهائي

10 معادلات عشوائية. اختر الحلّ الصحيح!

🧠 ما يجب أن أتذكره

• المعادلة ميزان متوازن : ما أفعله بكفة أفعله بالكفة الأخرى.
• أضيف أو أطرح العدد نفسه من الطرفين، أو أضرب أو أقسم في عدد غير معدوم.
• عند نقل حدّ تتغيّر إشارته.
• خطوات الحلّ : أنشر ← أجمع ← أقسم ← أتحقق.
• الحلّ البياني : فاصلة نقطة تقاطع المستقيمين y = a x + b و y = c x + d.
• قد لا يوجد حلّ (1 = 2) أو يوجد عدد لا نهائي من الحلول (0 = 0).