درس مفصل: الزوايا الحاصلة عن تقاطع مستقيمين ثامنة أساسي

درس مفصل: الزوايا الحاصلة عن تقاطع مستقيمين
مع الرسوم البيانية وتمارين متدرجة وإصلاحها

____________________________________________________

1. شرح مفصل للدرس والخاصيات الهندسيّة

 

أولاً: تقاطع مستقيمين غير متوازيين (في نقطة واحدة O) ينتج عن تقاطع مستقيمين (D1) و (D2) في النقطة O أربع زوايا: 1. الزاويتان المتقابلتان بالرأس:  • هما زاويتان لهما نفس الرأس O وأضلاعهما امتداد لبعضهما البعض.  • خاصية رئيسية: كل زاويتين متقابلتين بالرأس متقايستان تماماً!    (مثال: الزاوية 1 والزاوية 3 متقايستان | الزاوية 2 والزاوية 4 متقايستان). 2. الزاويتان المتكاملتان والمتجاوراتان:  • مجموع قياس كل زاويتين متجاوراتين على نفس المستقيم يساوي 180°.    (مثال: قياس الزاوية 1 + قياس الزاوية 2 = 180°).

 

الشكل 1: الزوايا المتقابلة بالرأس والمتكاملة الناتجة عن تقاطع مستقيمين في O

ثانياً: تقاطع مستقيمين متوازيين مع مستقيم قاطع لهما (Δ) عند تقاطع مستقيمين متوازيين (D1) // (D2) مع قاطع (Δ) في النقطتين A و B، تتكون 8 زوايا ذات علاقات خاصة: 1. الزاويتان المتبادلتان داخلياً (Alternes-internes):  • تقعان بين المستقيمين المتوازيين وفي جهتين مختلفين بالنسبة للقاطع (Δ).  • خاصية: كل زاويتين متبادلتين داخلياً متقايستان! (مثال: A3 و B1 متقايستان). 2. الزاويتان المتماثلتان (Correspondantes):  • تقعان في نفس الجهة بالنسبة للقاطع (Δ)، إحداهما داخلية والأخرى خارجية.  • خاصية: كل زاويتين متماثلتين متقايستان! (مثال: A1 و B1 متقايستان). 3. الزاويتان المتبادلتان خارجياً (Alternes-externes):  • تقعان خارج الشريط بين المستقيمين وفي جهتين مختلفين القاطع.  • خاصية: كل زاويتين متبادلتين خارجياً متقايستان! (مثال: A2 و B4 متقايستان). 4. خاصية إثبات التوازي (الخاصية العكسية): إذا قطع مستقيم مستقيمين وكون زاويتين متبادلتين داخلياً متقايستان (أو متماثلتين متقايستان)، فإن المستقيمين متوازيان قطعاً!

 

الشكل 2: الزوايا المتبادلة داخلياً والمتماثلة عند تقاطع مستقيمين متوازيين مع قاطع

2. تمارين تطبيقية متدرجة (من السهل إلى الصعب)

 

التمرين الأول (مستوى سهل — الحساب المباشر والتكامل):

يتقاطع المستقيمان (AB) و (CD) في النقطة O. علماً وأن قياس الزواية AOC = 65°:
1. احسب قياس الزاوية BOD مع علل جوابك.
2. احسب قياس الزاوية AOD.

التمرين الثاني (مستوى متوسط — التوازي والعلاقات بين الزوايا):

في الشكل المرفق، لدينا المستقيمان (D1) و (D2) متوازيان، و(Δ) قاطع لهما في A و B.
إذا كان قياس الزاوية A1 يساوي 115°:

الأسئلة المتعلقة بالتوازي

1. احسب قياس الزاوية B1 المتبادلة داخلياً مع A3.

2. احسب قياس الزاوية B3 المتبادلة خارجياً أو المتماثلة.

3. اذكر زاوية أخرى مقايسة لـ A1 مع ذكر السبب.

 

التمرين الثالث (مستوى معقد / متقدم — إثبات التوازي والبرهان الهندسي):

نص التمرين الثالث: ليكن ABC مثلثاً. نرسم المنصف [AX) للزاوية BAC. الخط المستقيم (D) يمر من C ويوازي (AX)، ويقطع امتداد ضلع [BA] في النقطة E. 1. بين أن الزاويتين CAX و ACE متقايستان. 2. بين أن الزاويتين XAB و AEC متقايستان. 3. استنتج أن المثلث ACE متقايس الضلعين في A.

 

3. الإصلاح والتصحيح المفصل مع التعليل الهندسي

 

إصلاح التمرين الأول (السهل):

السؤال والنتيجة	التعليل الهندسي الكامل
1. قياس الزاوية BOD	BOD = 65° لأن الزاويتين AOC و BOD متقابلتان بالرأس، والزاويتان المتقابلتان بالرأس متقايستان.
2. قياس الزاوية AOD	AOD = 180° - 65° = 115° لأن الزاويتين AOC و AOD متكاملتان ومجاوراتان على المستقيم (CD).

 

إصلاح التمرين الثاني (المتوسط):

السؤال والنتيجة	البرهان والتطبيق المباشر للخاصيات
1. قياس B1	بما أن A1 = 115° فإن A3 = 115° (تقابل بالرأس). وبما أن (D1) // (D2) والقاطع (Δ) يقطعهما، فإن B1 = A3 = 115° (لأنهما متبادلتان داخلياً).
2. قياس B3	B3 = A3 = 115° لأن الزاويتين A3 و B3 متماثلتان بالنسبة للمستقيمين المتوازيين والقاطع.
3. زوايا أخرى مقايسة	الزاوية B1 = 115° (متماثلة مع A1)، والزاوية B4 = 115° (متبادلة خارجياً مع A2 بعد الحساب).

 

إصلاح التمرين الثالث (المتقدم / البرهان):

مرحلة البرهان	الاستدلال والتطابق الهندسي
1. إثبات تقايس CAX و ACE	بما أن (AX) // (EC) والقاطع هو (AC)، فإن الزاويتين CAX و ACE متبادلتان داخلياً. وبما أن المستقيمين متوازيان فإن: CAX = ACE.
2. إثبات تقايس XAB و AEC	بما أن (AX) // (EC) والقاطع هو (BE)، فإن الزاويتين XAB و AEC متماثلتان. وبما أن المستقيمين متوازيان فإن: XAB = AEC.
3. استنتاج أن ACE متقايس الضلعين	بما أن [AX) منصف الزاوية BAC، فإن CAX = XAB. من النتيجتين السابقتين نستنتج أن: ACE = AEC. في المثلث ACE، بما أن زاويتي القاعدة متقايستان، فإن المثلث ACE متقايس الضلعين رأسه الرئيسي A (أي AC = AE).