المثلثات المتقايسة
السنة الثامنة من التعليم الأساسي — الدرس و٣٠ تمرينا متدرجة
I. تذكير
- مجموع زوايا مثلث يساوي 180°.
- في المثلث المتساوي الساقين زاويتا القاعدة متقايستان، وفي المثلث المتقايس الأضلاع كل زاوية تساوي 60°.
- الزاويتان المتقابلتان بالرأس متقايستان.
- إذا كان مستقيمان متوازيين وقطعهما مستقيم ثالث فإن الزاويتين المتبادلتين داخليا متقايستان.
- منتصف قطعة هو النقطة التي تقسمها إلى قطعتين متقايستين.
II. تقايس مثلثين
1) التعريف
يكون مثلثان متقايسين إذا أمكن جعل أحدهما ينطبق تماما على الآخر (بتحريكه أو قلبه). في هذه الحالة تنطبق العناصر المتناظرة: الرؤوس والأضلاع والزوايا.
2) النتيجة
إذا كان المثلثان ABC و A'B'C' متقايسين بحيث A يناظر A' و B يناظر B' و C يناظر C' فإن: AB = A'B' ، BC = B'C' ، AC = A'C' و ∠A = ∠A' ، ∠B = ∠B' ، ∠C = ∠C'.
3) ملاحظات
- ترتيب الرؤوس مهم: نكتب رؤوس المثلثين بحيث تكون الرؤوس المتناظرة في نفس المرتبة.
- المثلثان المتقايسان لهما نفس المساحة ونفس المحيط.
- في مثلثين متقايسين، الضلعان المتناظران يقابلان زاويتين متناظرتين.
III. حالات تقايس مثلثين
لإثبات تقايس مثلثين لا نحتاج إلى مقارنة العناصر الستة كلها، بل يكفي التحقق من إحدى الحالات الثلاث التالية:
الحالة الأولى: ضلع – ضلع – ضلع (ض ض ض)
إذا كانت أضلاع مثلث الثلاثة تساوي على التوالي أضلاع مثلث آخر الثلاثة، فإن المثلثين متقايسان.
AB = A'B' ، BC = B'C' ، AC = A'C' ⟸ المثلثان ABC و A'B'C' متقايسان.
الحالة الثانية: ضلع – زاوية – ضلع (ض ز ض)
إذا تقايس ضلعان وزاوية محصورة بينهما في مثلث مع ما يناظرها في مثلث آخر، فإن المثلثين متقايسان.
AB = A'B' ، AC = A'C' ، ∠A = ∠A' ⟸ المثلثان ABC و A'B'C' متقايسان.
الحالة الثالثة: زاوية – ضلع – زاوية (ز ض ز)
إذا تقايس ضلع وزاويتان مجاورتان له في مثلث مع ما يناظرها في مثلث آخر، فإن المثلثين متقايسان.
BC = B'C' ، ∠B = ∠B' ، ∠C = ∠C' ⟸ المثلثان ABC و A'B'C' متقايسان.
انتبه: لا تكفي الزوايا الثلاث المتقايسة (قد يكون المثلثان متشابهين دون أن يكونا متقايسين)، ولا يكفي ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما.
IV. تقايس مثلثين قائمين
المثلثان القائمان لهما زاوية قائمة متقايسة، فتكفي حالات أبسط:
يكون مثلثان قائمان متقايسين في إحدى الحالات التالية:
- ضلعان قائمان متقايسان على التوالي.
- الوتر وضلع قائم متقايسان على التوالي.
- الوتر وزاوية حادة متقايسان على التوالي.
الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. في الشكل: ∠A = ∠A' = 90° ، BC = B'C' ، AB = A'B' ⟸ المثلثان ABC و A'B'C' متقايسان.
V. كيف نبرهن بالتقايس؟
- نحدد المثلثين المناسبين، ونرتب رؤوسهما بحيث تتناظر الرؤوس.
- نبحث عن ثلاثة عناصر متقايسة (أضلاع أو زوايا) ونبرر كل تقايس (منتصف، ضلع مشترك، زاويتان متقابلتان بالرأس، فرضية…).
- نذكر الحالة المستعملة: ض ض ض، أو ض ز ض، أو ز ض ز.
- نستنتج المطلوب: كل عنصرين متناظرين في مثلثين متقايسين متقايسان.
مثال 1
المعطيات: O منتصف كل من [AB] و [CD]. المطلوب: بيّن أن AC = BD.
الحل: في المثلثين OAC و OBD لدينا:
- OA = OB لأن O منتصف [AB].
- OC = OD لأن O منتصف [CD].
- ∠AOC = ∠BOD لأنهما متقابلتان بالرأس.
إذن المثلثان OAC و OBD متقايسان (الحالة الثانية: ض ز ض)، ومنه AC = BD.
مثال 2
المعطيات: ABC مثلث متساوي الساقين رأسه A ، و M منتصف [BC]. المطلوب: بيّن أن ∠B = ∠C.
الحل: في المثلثين ABM و ACM لدينا:
- AB = AC (فرضية).
- BM = CM لأن M منتصف [BC].
- AM ضلع مشترك.
إذن المثلثان متقايسان (الحالة الأولى: ض ض ض)، ومنه ∠B = ∠C و ∠AMB = ∠AMC. وبما أن ∠AMB + ∠AMC = 180° فإن ∠AMB = 90° أي (AM) ⊥ (BC).
نتائج مهمة (تثبت بالتقايس)
- زاويتا القاعدة في مثلث متساوي الساقين متقايستان.
- في مثلث متساوي الساقين، المتوسط الصادر من الرأس هو أيضا ارتفاع ومنصف.
- كل نقطة من واسط قطعة تبعد بنفس المسافة عن طرفيها.
- كل نقطة من منصف زاوية تبعد بنفس المسافة عن ضلعيها.
- في متوازي الأضلاع: كل ضلعين متقابلين متقايسان، والقطران يتقاطعان في منتصفهما.
VI. التمارين
المستوى 1: تطبيق مباشر (التمارين 1 – 8)
التمرين 1:
المثلثان ABC و MNP متقايسان بحيث A يناظر M و B يناظر N و C يناظر P. أكمل:
أ) AB = … ب) BC = … ج) AC = …
د) ∠A = … هـ) ∠B = … و) ∠C = …
التمرين 2:
المثلثان ABC و EFG متقايسان بحيث A يناظر E و B يناظر F و C يناظر G. نعلم أن AB = 5 cm ، BC = 7 cm ، AC = 9 cm ، ∠A = 40° ، ∠B = 75°. أعط:
أ) EF ، FG ، EG
ب) ∠E ، ∠F ، ∠G
التمرين 3:
المثلثان ABC و A'B'C' . في كل حالة، حدد الحالة المناسبة للتقايس (ض ض ض / ض ز ض / ز ض ز) أو اكتب «لا يمكن الاستنتاج»:
أ) AB = A'B' ، BC = B'C' ، AC = A'C'
ب) AB = A'B' ، AC = A'C' ، ∠A = ∠A'
ج) ∠B = ∠B' ، BC = B'C' ، ∠C = ∠C'
د) AB = A'B' ، BC = B'C' ، ∠A = ∠A'
التمرين 4:
هل المثلثان متقايسان؟ علّل بإيجاز:
أ) مثلثان متقايسا الأضلاع، طول ضلع كل منهما 4 cm.
ب) مثلثان زواياهما 60° و60° و60°.
ج) مثلث أضلاعه 3 cm و4 cm و5 cm ، ومثلث أضلاعه 5 cm و3 cm و4 cm.
د) مثلثان قائمان، ضلعاهما القائمان 3 cm و4 cm في كل منهما.
التمرين 5:
المثلثان ABC و A'B'C' . أعط عنصرا إضافيا يمكن من استنتاج تقايسهما، وسمّ الحالة:
أ) AB = A'B' و BC = B'C'
ب) ∠A = ∠A' و AB = A'B'
ج) BC = B'C' و ∠B = ∠B'
التمرين 6:
المثلثان ABC و DEF متقايسان بحيث A يناظر D و B يناظر E و C يناظر F. نعلم أن AB = 6 cm و BC = 8 cm ومحيط DEF يساوي 24 cm. احسب AC ثم DE و EF و DF.
التمرين 7:
ABC مثلث قائم الزاوية في A حيث AB = 3 cm و AC = 4 cm ، و DEF مثلث قائم الزاوية في D حيث DE = 3 cm و DF = 4 cm.
أ) بيّن أن المثلثين ABC و DEF متقايسان.
ب) ماذا تستنتج بالنسبة إلى BC و EF؟
التمرين 8:
أنشئ مثلثا ABC حيث AB = 4 cm و BC = 5 cm و AC = 6 cm. هل المثلثات التي ينشئها زملاؤك بنفس القياسات متقايسة مع مثلثك؟ علّل.
المستوى 2: تطبيق الحالات (التمارين 9 – 16)
التمرين 9:
في الشكل المقابل AB = AD و CB = CD.
أ) بيّن أن المثلثين ABC و ADC متقايسان.
ب) استنتج أن ∠ABC = ∠ADC و ∠BAC = ∠DAC.
التمرين 10:
ABC مثلث و M منتصف [BC]. D نظيرة A بالنسبة إلى M.
أ) بيّن أن المثلثين ABM و DCM متقايسان.
ب) استنتج أن AB = DC.
التمرين 11:
ABC مثلث متقايس الأضلاع و M منتصف [BC].
أ) بيّن أن المثلثين ABM و ACM متقايسان.
ب) استنتج أن ∠BAM = ∠CAM ثم احسب قيسهما.
التمرين 12:
ABC مثلث متساوي الساقين رأسه A. D نقطة من [AB] و E نقطة من [AC] بحيث AD = AE.
أ) بيّن أن المثلثين ABE و ACD متقايسان.
ب) استنتج أن BE = CD.
التمرين 13:
ABCD مستطيل.
أ) بيّن أن المثلثين ABC و BAD متقايسان.
ب) استنتج أن AC = BD (قطرا المستطيل متقايسان).
التمرين 14:
[AB] قطعة، و C و D نقطتان في جهتين مختلفتين بالنسبة إلى (AB) بحيث ∠CAB = ∠DBA و ∠CBA = ∠DAB.
أ) بيّن أن المثلثين ABC و BAD متقايسان.
ب) استنتج أن AC = BD و BC = AD.
التمرين 15:
المثلثان ABC و DEF متقايسان بحيث A يناظر D و B يناظر E و C يناظر F. نعلم أن ∠A = 60° وأن ∠B = 2 × ∠C. احسب ∠D و ∠E و ∠F.
التمرين 16:
المثلثان ABC و DEF متقايسان بحيث A يناظر D و B يناظر E و C يناظر F. نعلم أن: AB = 2x + 1 ، DE = x + 6 ، BC = 3y − 1 ، EF = y + 9 ، AC = 12.
أ) أوجد x و y.
ب) احسب محيط المثلث DEF.
المستوى 3: براهين متوسطة (التمارين 17 – 24)
التمرين 17:
ABC مثلث متساوي الساقين رأسه A ، ومنصف الزاوية ∠BAC يقطع [BC] في H.
أ) بيّن أن المثلثين ABH و ACH متقايسان.
ب) استنتج أن H منتصف [BC] وأن (AH) ⊥ (BC).
التمرين 18:
ABC مثلث و M منتصف [BC]. H و K المسقطان العموديان على التوالي لـ B و C على المستقيم (AM).
أ) بيّن أن المثلثين BHM و CKM متقايسان.
ب) استنتج أن BH = CK.
التمرين 19:
xOy زاوية و M نقطة من منصفها. H و K المسقطان العموديان لـ M على [Ox) و [Oy) على التوالي.
أ) بيّن أن المثلثين OHM و OKM متقايسان.
ب) استنتج أن MH = MK.
التمرين 20:
[AB] قطعة و I منتصفها. M نقطة من الواسط (العمود المنصف) للقطعة [AB] (ونفترض M ≠ I).
أ) بيّن أن المثلثين MIA و MIB متقايسان.
ب) استنتج أن MA = MB.
التمرين 21:
ABCD متوازي أضلاع و O نقطة تقاطع قطريه.
أ) بيّن أن المثلثين ABC و CDA متقايسان (إرشاد: استعمل الزاويتين المتبادلتين داخليا).
ب) استنتج أن AB = CD و BC = AD.
التمرين 22:
في نفس الشكل (التمرين 21):
أ) بيّن أن المثلثين OAB و OCD متقايسان.
ب) استنتج أن O منتصف [AC] و [BD].
التمرين 23:
ABC مثلث متساوي الساقين رأسه A. D نقطة من [AB] و E نقطة من [AC] بحيث BD = CE.
أ) بيّن أن المثلثين DBC و ECB متقايسان.
ب) استنتج أن DC = EB.
التمرين 24:
دائرتان مركزاهما O و O' تتقاطعان في نقطتين A و B.
أ) بيّن أن المثلثين OAO' و OBO' متقايسان.
ب) استنتج أن ∠AOO' = ∠BOO'.
المستوى 4: مسائل وتعمّق (التمارين 25 – 30)
التمرين 25:
أنشأنا خارج المثلث ABC المثلثين المتقايسي الأضلاع ABD و ACE.
أ) بيّن أن ∠DAC = ∠BAE.
ب) بيّن أن المثلثين ADC و ABE متقايسان.
ج) استنتج أن DC = BE.
التمرين 26:
ABCD مربع. E نقطة من [BC] و F نقطة من [CD] بحيث BE = CF. المستقيمان (AE) و (BF) يتقاطعان في G.
أ) بيّن أن المثلثين ABE و BCF متقايسان، ثم استنتج أن AE = BF.
ب) بيّن أن ∠BAE = ∠CBF.
ج) استنتج أن ∠AGB = 90° أي (AE) ⊥ (BF).
التمرين 27:
ABC مثلث متقايس الأضلاع. D نقطة من [AB] و E نقطة من [BC] و F نقطة من [CA] بحيث AD = BE = CF.
أ) بيّن أن BD = CE = AF.
ب) بيّن أن المثلثات ADF و BED و CFE متقايسة.
ج) استنتج أن DEF مثلث متقايس الأضلاع.
التمرين 28:
ABC مثلث متساوي الساقين رأسه A. I منتصف [AB] و J منتصف [AC].
أ) بيّن أن BI = CJ.
ب) بيّن أن المثلثين BIC و CJB متقايسان.
ج) استنتج أن BJ = CI (المتوسطان المتعلقان بالساقين متقايسان).
التمرين 29:
لقياس عرض نهر دون عبوره، اختار تلميذ شجرة T على الضفة المقابلة، وموقعا A على ضفته بحيث (AT) عمودي على الضفة. ثم اختار نقطة B على ضفته و C منتصف [AB] ، وسار على العمودي على (AB) عند B (في الاتجاه المعاكس للنهر) إلى أن بلغ نقطة D بحيث تكون D و C و T على استقامة واحدة.
أ) بيّن أن المثلثين ACT و BCD متقايسان.
ب) استنتج أن AT = BD.
ج) إذا قاس التلميذ BD = 37 m ، فما هو عرض النهر؟
التمرين 30:
ABC مثلث متساوي الساقين رأسه A. D نقطة من نصف المستقيم [CB) خارج [BC] (أي B بين D و C) و E نقطة من نصف المستقيم [BC) خارج [BC] (أي C بين B و E) بحيث BD = CE.
أ) بيّن أن ∠ABD = ∠ACE (إرشاد: ∠ABD = 180° − ∠ABC).
ب) بيّن أن المثلثين ABD و ACE متقايسان.
ج) استنتج أن AD = AE وأن ∠ADB = ∠AEC.
VII. الإجابات المختصرة — اضغط للإظهار
